نامتناهی اتاق با ابعاد $\frac{1}{n}$ در $\frac{1}{n}$ در ۱ داریم. این فضا با مقدار متناهی رنگ پُر می شود ولی مساحت جانبی آن بینهایت است. مشکل چیست؟

Question

پادشاهی قصری نامتناهی دارد که ابعاد طبقه اول ان یک اتاق $1\times 1\times 1$ است. طبقهٔ بالا دقیقا بر روی میان طبقهٔ زیرین با ابعاد $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 1$ و طبقه سوم آن یک اتاق $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times 1$ و همین‌گونه ادامه دارد. چگونه می‌توان با مقدار محدودی رنگ همهٔ دیوارهای داخلی اتاق‌ها را رنگ کرد؟

پاسخ: با پرکردن قصر از رنگ، مقدار $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots$ واحدِ مکعب رنگ لازم است که مقداری متناهی است و مقدار آن $\frac{\pi ^2}{6}$ است.

اما از طرفی اگر بخواهیم فقط یک دیوار از هر اتاق را رنگ کنیم، مقدار $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$ واحدِ مربع رنگ لازم است که نامتناهی است.

آیا تناقضی بین این دو نظر دیده می‌شود؟ اگر بلی، چرا و چگونه مشکل حل می‌شود؟

Answer 1

سلام.

به نظر من تناقضی وجود ندارد.

فقط نکته اینجاست که سری $S_n=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +...$ خیلی خیلی کند رشد میکند.اما مثلن سری $T_n=1^1+2^2+3^2++...$ را در نظر بگیرید.هر دو تای این سری ها به $+ \infty $ واگرا هستند اما این سری خیلی زود رشد می کند.به بیان دیگر شما اگر $M$ را یک عدد مثبت دلخواه بگیرید و $n_1$ اولین عددی باشد که $S_{n_1}>M$ و $n_2$ اولین عددی باشد که $T_{n_2}>M$ آنگاه برای $M$ های بزرگ $n_1$ خیلی بزرگتر از $n_2$ است.

در واقع ریاضیدان فرق بین این دو واگرایی را به کمک (Big O notation) (اُی بزرگ) تشریح میکنند.

در دنیای واقعی:

شما فرض کنید همین پادشاه قصری به شکل چتر دارای بینهایت طبقه دارد.طبقه اول اتاقی یک در یک در یک، طبقه دوم اتاقی دو در دو در دو، طبقه سوم اتاقی سه در سه در سه و الی غیر...

حالا اگر بخواهید در هر طبقه فقط یک دیوار را رنگ بزنید مقدار $T_n=1^2+2^2+3^2+4^2+...$ مقدار رنگ لازم است اما در در پروژه رنگ آمیزی این قصر پادشاه خیلی زود بعد از چند طبقه دچار بحران مالی می شود.اما در پروژه رنگ آمیزی قصر مورد نظر شما پادشاه هیچ وقت دچار بحران مالی نمی شود و با خیال راحت می تواند رنگ آمیزی را ادامه دهید.البته در هیچ کدام از این پروژه ها پادشاه موفق به دریافت پایان کار نمی گردد مگر اینکه پادشاه زئوس باشد.

$ \Box $