نخست اینکه $I$ در پرسشتان نمیتواند دلخواه باشد بلکه باید مینوشتید برای یک $I$-ِ مناسب.
دوم اینکه نمیتوانید همواره تعداد متغیرها در نمایش به کمک چندجملهایها برای $k$-جبرتان را برابر درجهٔ تعالی حلقهتان بگیرید مگر اینکه $k$-جبرتان یکریخت با حلقهٔ چندجملهایها شود!
فرض کنید $A$ یک $k$-جبر باشد. بعلاوه فرض کنید یک مولد $n$ عضوی که $n$ متناهی است مانند $\lbrace a_1,\cdots,a_n\rbrace$ داشتهباشد. برای حالت نامتناهی حکم مشابه داریم که تنها باید در نوشتن (نمادگذاریها) دقت کنید. چون متن پرسش شما حالت متناهی را میخواهد، ما نیز با فرض متناهی جلو میرویم.
چون $A$، $k$-جبر است پس اعضای $k$ را باید داشته باشد. بعلاوه اعضای مولد نیز باید درونش باشند پس تمام ضربها و جمعها و ترکیبات $k$-جبری $a_i$ها باید درون $A$ باشند. بعلاوه چون $a_i$ها، $A$ را تولید کردهاند پس تمام عناصرش به شکل ترکیبهای اینها هستند و چیزی به غیر از آنها ندارد.
اکنون همریختی $k$-جبری $\phi:k[x_1,\cdots,x_n]\rightarrow A$ را اینگونه تعریف کنید که روی $k$ همانی عمل کند، $x_i$ها را به $a_i$ها ببرد و روی یک چندجملهای دلخواه نسبت به ضرب اسکالری و ضرب متغیرها و جمع باز شود. چون هر ترکیب $k$-جبری از $a_i$ها را میتوان با کمک جایگذاریشان به جای متغیرها در یک چندجملهای $n$-متغیره تولید کرد، $\phi$ پوشا است. بنا به قضیهٔ اول یکریختی برای $k$-جبرها تصویر یک $k$-همریختی جبری که در اینجا $A$ است یکریخت با خارج قسمت دامنه بر هستهٔ این همریختی میشود. ایدهآل $I$ای که دنبالش میبودید، این هسته است (نه هر ایدهآل دلخواهی!).
اکنون اگر $n$، یعنی تعداد عناصر مجموعهٔ مولدمان برابر درجهٔ تعالیِ $A$ میشد آنگاه این مجموعه یک مجموعهٔ متعالی میبود. متعالی بودن آن این معنی رو میداد که هیچ ترکیب $k$-جبری آنها برابر صفر نشود یا به عبارت دیگر هیچ چندجملهای $n$-متغیرهای با ضرایب از $k$ یافت نشود که با جایگذاری اعضای مجموعهمان به جای متغیرهایش، حاصل صفر شود. و این یعنی هستهٔ همریختیای که برای نمایش چندجملهایوار اعضای $A$ استفاده کردیم صفر است.
