به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
107 بازدید
در دبیرستان توسط A Math L (2,309 امتیاز)
ویرایش شده توسط Taha1381

پاسخ عبارت زیر را بیابید :

$$ \sum_{k=1}^n \frac{4k}{1+4k ^4} $$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Taha1381 (1,691 امتیاز)
انتخاب شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

اتحاد زیر را در نظر بگیرید:

$a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2$

$=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$

داریم:

$\sum\limits_{k=1}^n \frac{4k}{1+4k ^4}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{4k}{(2k^2+2k+1)(2k^2-2k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n( \frac{1}{2k^2-2k+1}-\frac{1}{2k^2+2k+1})$

$=\sum\limits_{k=1}^n{(\frac{1}{2k^2-2k+1}+\frac{1}{2(k+1)^2-2(k+1)+1)})}$

$=1-\frac{1}{2n^2+2n+1}$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...