پاسخ عبارت $ \sum\limits_{k=1}^n \frac{4k}{1+4k ^4} $

Question

پاسخ عبارت زیر را بیابید :

$$ \sum_{k=1}^n \frac{4k}{1+4k ^4} $$

Answer 1

اتحاد زیر را در نظر بگیرید:

$a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2$

$=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$

داریم:

$\sum\limits_{k=1}^n \frac{4k}{1+4k ^4}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{4k}{(2k^2+2k+1)(2k^2-2k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n( \frac{1}{2k^2-2k+1}-\frac{1}{2k^2+2k+1})$

$=\sum\limits_{k=1}^n{(\frac{1}{2k^2-2k+1}+\frac{1}{2(k+1)^2-2(k+1)+1)})}$

$=1-\frac{1}{2n^2+2n+1}$