به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
323 بازدید
در دانشگاه توسط Hanieh (87 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

برای هر دنباله از توابع اندازه پذیر مانند $f_n$ گزاره زیر برقرار است:

اگر ت.ه. $f_n$ میل کند به $f$ انگاه $f$ تابعی اندازه پذیر است.

مرجع: کتاب اصول انالیز حقیقی از الیپرانتیس
توسط fardina (15,227 امتیاز)
من که حالا نگاه میکنم به کتاب الیپرانتیس میبینم که اینو به عنوان یک قضیه آورده!
پس ممکنه شما اثبات قضیه ر متوجه نشده باشید؟
چون روند اثباتی که من در جواب نوشتم با روند اثبات این کتاب فرق میکنه.
توسط Hanieh (87 امتیاز)
بله اثبات تو کتاب اومده ولی استاد معتقد بود که بازه  1+ 1/n اشتباهه وباید اصلاح بشه
البته اون توضیح دیگه ایی که دادینو متوجه شدم . ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (15,227 امتیاز)

اولا که توجه کنید این قضیه برای اندازه های کامل برقرار است. یعنی اگر $\mu$ کامل نباشد لزوما نمی توان گفت که اندازه پذیری $f_n$ ها اندازه پذیری $f$ را نتیجه می دهد.

به عنوان مثال اگر $\mu(N)=0$ و $E\subset N$ اندازه ناپذیر باشد در اینصورت دنباله $f_n=0$ تقریبا همه جا به $\chi_E$ همگراست که اندازه ناپذیر است.


اما در صورتی که فرض کنیم اندازه کامل باشد این قضیه درست. در واقع اگر $E$ مجموعه نقاط $x\in X$ باشد که $f_n(x)\to f(x)$ در اینصورت بنابرفرض $\mu(E^c)=0$ . پس اگر قرار دهیم $g_n=f_n\chi_E$ و $g=f\chi_E$ در اینصورت همه جا $g_n\to g$.

پس کافی است نشان دهیم چنانچه $f_n\to f$ (همه جا) آنگاه $f$ هم اندازه پذیر است.

اما برای نشان دادن این موضوع می توانید نشان دهید $g_1(x)=\sup f_n(x)$ و $h_1(x)=\inf f_n(x)$ اندازه پذیر هستند زیرا

$$\{x:\sup f_n(x)> a\}=\bigcup _n\{x:f_n(x)> a\}\\ \{x:\inf f_n(x)< a\}=\bigcup _n\{x:f_n(x)< a\}$$

و لذا $g_2(x)=\limsup f_n(x)$ و $h_2(x)=\liminf f_n(x)$ اندازه پذیرند چون $\limsup f_n(x)=\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n} f_k(x)$ و $\liminf f_n(x)=\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}f_n(x)$ .

و در نهایت می توانید نشان دهید $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)$ اندازه پذیر است چون وقتی که حد دنباله موجود است پس با $\limsup$ و $\liminf$ آن دنباله برابر می شود که گفتیم این دو هم اندازه پذیرند.

بنابراین $g$ اندازه پذیر است اما $g=f$ (تقریبا همه جا) لذا $f$ هم اندازه پذیر است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...