اولا که توجه کنید این قضیه برای اندازه های کامل برقرار است. یعنی اگر $\mu$ کامل نباشد لزوما نمی توان گفت که اندازه پذیری $f_n$ ها اندازه پذیری $f$ را نتیجه می دهد.
به عنوان مثال اگر $\mu(N)=0$ و $E\subset N$ اندازه ناپذیر باشد در اینصورت دنباله $f_n=0$ تقریبا همه جا به $\chi_E$ همگراست که اندازه ناپذیر است.
اما در صورتی که فرض کنیم اندازه کامل باشد این قضیه درست. در واقع اگر $E$ مجموعه نقاط $x\in X$ باشد که $f_n(x)\to f(x)$ در اینصورت بنابرفرض $\mu(E^c)=0$ . پس اگر قرار دهیم $g_n=f_n\chi_E$ و $g=f\chi_E$ در اینصورت همه جا $g_n\to g$.
پس کافی است نشان دهیم چنانچه $f_n\to f$ (همه جا) آنگاه $f$ هم اندازه پذیر است.
اما برای نشان دادن این موضوع می توانید نشان دهید $g_1(x)=\sup f_n(x)$ و
$h_1(x)=\inf f_n(x)$ اندازه پذیر هستند زیرا
$$\{x:\sup f_n(x)> a\}=\bigcup _n\{x:f_n(x)> a\}\\
\{x:\inf f_n(x)< a\}=\bigcup _n\{x:f_n(x)< a\}$$
و لذا $g_2(x)=\limsup f_n(x)$ و $h_2(x)=\liminf f_n(x)$ اندازه پذیرند چون $\limsup f_n(x)=\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n} f_k(x)$ و $\liminf f_n(x)=\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}f_n(x)$ .
و در نهایت می توانید نشان دهید $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)$ اندازه پذیر است چون وقتی که حد دنباله موجود است پس با $\limsup$ و $\liminf$ آن دنباله برابر می شود که گفتیم این دو هم اندازه پذیرند.
بنابراین $g$ اندازه پذیر است اما $g=f$ (تقریبا همه جا) لذا $f$ هم اندازه پذیر است.
