فرض کنید $\mu^*$ یک اندازه خارجی روی $X$و $A$ و $B$ دو زیرمجموعه $\mu^*$-اندازه پذیر باشند.
یادآوری می کنیم که $A$ مجموعه ای $\mu^*$-اندازه پذیر است هرگاه برای هر $E\subset X$ داشته باشیم:
$$\mu^*(E)\geq \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)$$
بنابراین از $\mu^*$-اندازه پذیری $A$ نتیجه می شود$A^c$ هم $\mu^*$-اندازه پذیر است.
نشان می دهیم $A\cup B$ هم $\mu^*$ -اندازه پذیر است. فرض کنید $E\subset X$ در اینصورت:
$$\begin{align}
\mu^*(E)&=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)\\
&=\underline{\mu^*(E\cap A\cap B)+\mu^*(E\cap A\cap B^c)+\mu^*(E\cap A^c\cap B)}+\mu^*(E\cap A^c\cap B^c)\\
&\geq\underline{\mu^*(E\cap (A\cup B))}+\mu^*(E\cap(A\cup B)^c)
\end{align}$$
توجه کنید که نامساوی که زیر آن خط کشیده شده از $A\cup B=(A\cap B^c)\cup (A\cap B)\cup (A^c\cap B)$ و زیرجمعی شمارا بودن $\mu^*$ نتیجه شده است.
لذا $A\cup B$ مجموعه ای $\mu^*$-اندازه پذیر است.
