برای این گزاره ای که شما نوشتین:" خانواده همه زیر مجموعه های لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است ." مثال نقض وجود دارد: مثلا مجموعه های [0,x] که x>0 دارای اندازه مثبت بوده و تعداد ناشمارایی از این مجموعه ها وجود دارد.
با این حال گزاره درست به صورت زیر است:
خانواده همه زیر مجموعه های دو به دو مجزای لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است .
اثبات: با استفاده از ایده ای که اینجا به کاررفته اثبات می کنیم.
فرض کنید \mathcal E خانواده تمام زیرمجموعه های مجزای لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت باشد. برای هر
j,k=1,2,3,... قرار می دهیم:
\mathcal E_{j,k}=\big\{E\in\mathcal E: \mu(E\cap (-j,j))\geq \frac 1k\big\}
در اینصورت \mathcal E_{j,k} ها برای هر j,k متناهی است و چون \mathcal E=\bigcup_{j,k=1}^\infty\mathcal E_{j,k} لذا \mathcal E حداکثر شمارا است.(اجتماع شمارا از مجموعه های متناهی حداکثر شمارا است)
البته اثبات متناهی بودن \mathcal E_{j,k} ها موند برای خودتون.
توجه:بنابر روش اثبات برای هر فضای اندازه ی سیگمامتناهی باز هم اثبات فوق درسته.
