به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
416 بازدید
در دانشگاه توسط janmohammadiali (236 امتیاز)

ثابت کنید خانواده همه زیر مجموعه های لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است .

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (15,407 امتیاز)

برای این گزاره ای که شما نوشتین:" خانواده همه زیر مجموعه های لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است ." مثال نقض وجود دارد: مثلا مجموعه های $ [0,x] $ که $ x>0 $ دارای اندازه مثبت بوده و تعداد ناشمارایی از این مجموعه ها وجود دارد.

با این حال گزاره درست به صورت زیر است:

خانواده همه زیر مجموعه های دو به دو مجزای لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است .

اثبات: با استفاده از ایده ای که اینجا به کاررفته اثبات می کنیم.

فرض کنید $ \mathcal E$ خانواده تمام زیرمجموعه های مجزای لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت باشد. برای هر $ j,k=1,2,3,... $ قرار می دهیم: $$ \mathcal E_{j,k}=\big\{E\in\mathcal E: \mu(E\cap (-j,j))\geq \frac 1k\big\} $$ در اینصورت $ \mathcal E_{j,k}$ ها برای هر $ j,k $ متناهی است و چون $\mathcal E=\bigcup_{j,k=1}^\infty\mathcal E_{j,k} $ لذا $ \mathcal E $ حداکثر شمارا است.(اجتماع شمارا از مجموعه های متناهی حداکثر شمارا است)


البته اثبات متناهی بودن $ \mathcal E_{j,k} $ ها موند برای خودتون.

توجه:بنابر روش اثبات برای هر فضای اندازه ی سیگمامتناهی باز هم اثبات فوق درسته.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...