برای این گزاره ای که شما نوشتین:" خانواده همه زیر مجموعه های لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است ." مثال نقض وجود دارد: مثلا مجموعه های $ [0,x] $ که $ x>0 $ دارای اندازه مثبت بوده و تعداد ناشمارایی از این مجموعه ها وجود دارد.
با این حال گزاره درست به صورت زیر است:
خانواده همه زیر مجموعه های دو به دو مجزای لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت ( بزرگتر از صفر ) شمارا است .
اثبات: با استفاده از ایده ای که اینجا به کاررفته اثبات می کنیم.
فرض کنید $ \mathcal E$ خانواده تمام زیرمجموعه های مجزای لبگ اندازه پذیر با اندازه مثبت باشد. برای هر
$ j,k=1,2,3,... $ قرار می دهیم:
$$ \mathcal E_{j,k}=\big\{E\in\mathcal E: \mu(E\cap (-j,j))\geq \frac 1k\big\} $$
در اینصورت $ \mathcal E_{j,k}$ ها برای هر $ j,k $ متناهی است و چون $\mathcal E=\bigcup_{j,k=1}^\infty\mathcal E_{j,k} $ لذا $ \mathcal E $ حداکثر شمارا است.(اجتماع شمارا از مجموعه های متناهی حداکثر شمارا است)
البته اثبات متناهی بودن $ \mathcal E_{j,k} $ ها موند برای خودتون.
توجه:بنابر روش اثبات برای هر فضای اندازه ی سیگمامتناهی باز هم اثبات فوق درسته.
