کوچکترین جمله ی دنباله $ a_{n}=n+ \frac{16}{n} $ جمله ی چندم است؟

Question

کوچکترین جمله ی این دنباله جمله ی چندم است؟$ a_{n}=n+ \frac{16}{n} $

من از این دو راه $ a_{n}=( \sqrt{n}+ \frac{4}{ \sqrt{n} })^{2}- 8$ و $ a_{n}= \frac{ n^{2}+16 }{n} $حل کردم و جایگذاری کردم .جواب 4 شد.اما آیا راهی هست که جایگذاری نکنیم؟

Answer 1

با استفاده از نامساوی بین میانگین حسابی و هندسی $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}2$ می دانیم مجموع دو عدد مثبت وقتی کمترین مقدار را خواهد داشت که با هم برابر باشند یعنی $n=\frac {16}n$ یعنی $n=4$ .

Answer 2

تابع $f(x)=x+\frac {16}x$ را در نظر بگیرید. با مشتقگیری داریم $$f'(x)=1-\frac {16}{x^2}$$ با برابر صفر قراردادن مشتق خواهید دید $x=\pm 4$ نقاط مینیمم تابع هستند. پس دنباله ی مربوطه در $n=4$ دارای مینیمم خواهد بود.