فرمولی برای جمع جمله های دنباله با جمله عمومیِ $a_n=\frac{10^n-1}{9}$ ارائه کنید.

Question

دنباله‌ٔ با جمله عمومیِ $a_n=\frac{10^n-1}{9}$ را در نظر بگیرید. جمع جمله‌های این دنباله را چگونه حساب کنیم یعنی جمعِ ۱ و ۱۱ و ۱۱۱ و ... تا $n$ تا ۱. ولی متوجه نشدم‌ چه کار کنم، چون دنباله نه حسابی است، نه هندسی که مجموع از فرمول‌های مربوطه استفاده شود.

Comments

@Mohammad.reza77 شما خودتان از «حاصل عبارت زیر کدام است» چه نتیجه‌گیری‌ای در مورد اینکه داخل پرسش به چه چیزی قرار است بربخورید می‌کنید؟ همینطوری الکی عنوان تایپ نکنید! من این دفعه برایتان ویرایش کردم ببینید عنوان جدید چقدر با عنوان قبلی‌تان تفاوت دارد! پست زیر را بخوانید و نکته‌های گفته شده را در نوشتن پست‌های جدیدتان رعایت کنید.
https://math.irancircle.com/11973

Answer 1

فرض کنید تا $n$رقم $1$ تکرار داشته باشید.می نویسیم$$1+11+111+1111+.....= \frac{9(1+11+111+....)}{9} = \frac{9+99+999+....}{9} = \frac{(10-1)+(100-1)+....}{9}= \frac{10-1+100-1+1000-1+....}{9} = \frac{10+100+1000+...-1-1-1-.....}{9} $$ عبارت $$10+100+....$$سری هندسی با قدر نسبت و جمله اول $$10$$با فرمول جمع $$s= \frac{a(r^n-1)}{r-1} $$ است لذا حاصل عبارت برابر است با $$ \frac{10(10^n-1)}{81} - \frac{n}{9} $$

Comments

ممنون از  راهنماییتون. ولی در نهایت فرمول بندی ای برای بدست آوردن جواب در هر  مرحله وجود ندارد؟؟ فرمول بر حسب n .

---

@mohammad.rezan  $n$تعداد تکرار $1$است. فرمولی که نوشتم هم این را نشان دادم