آیا فرمولی هست که بتوانید دنباله ای با چن جملهٔ آغازینِ $\lbrace 1,2,9,28,65,\dots\rbrace$ تولید کند؟

Question

آیا فرمولی برای یافتن جمله عمومی دنباله $1,2,9,28,65,...$ وجود دارد؟

تلاشم: قدر نسبت، قدر نسبت‌های آنها دنباله حسابی نبود دچار مشکل شدم.

Answer 1

یک پاسخ می‌تواند به صورت زیر باشد:

$$u_{n}=(n-1)^3+1,\;n\in\mathbb{N}$$

Comments

تشکر از پاسخ خواستم بدانم با حدس وآزمایش جمله عمومی را بیابم یا راه حل ریاضی دارد؟

---

با سلام. می‌توانیم دنباله را بصورت زیر بنویسیم. $(0^3)+1, (1^3)+1, (2^3)+1,..., (n-1)^3+1$.

---

rezasalmanian@ از مجموعه توانایی و اطلاعات از ریاضی وتجربه در یافتن جمله ای عمومی می توان بهره برد

---

rez@ بله، یک ایده برای رسیدن به نتیجه است

---

از توجه شما سپاس

Answer 2

به نام خدا

$$\{1, 2, 9, 28, 65, ...\}$$

اختلاف جملات دنباله، خود تشکیل یک دنبالۀ دیگر می‌دهند که به شکل زیر است:

$$\{1, 7, 19, 37, ...\}$$

و اختلاف جملات این دنباله هم تشکیل یک دنبالۀ دیگر می‌دهد که دنباله‌ای حسابی با قدر نسبت 6 است:

$$\{6, 12, 18, ...\}$$

پس اختلاف جملاتش، دنبالۀ ثابت زیر است:

$$\{6, 6, ...\}$$

پس دنبالۀ $\{1, 2, 9, 28, 65, ...\}$، یک دنبالۀ غیر خطی درجۀ سه می‌باشد. شکل کلی جملۀ عمومی دنبالۀ غیر خطی درجۀ سه، به‌صورت $t_n = an^3 + bn^2 + cn + d$ است. برای محاسبۀ و به‌دست آوردن مقادیر $a$، $b$، $c$ و $d$، دو راه دارید. یک راه تشکیل دستگاه معادله است. به این شکل که به‌جای $n$، اعداد 1، 2، 3 و 4 را قرار دهید و به‌جای $t_1$، $t_2$، $t_3$ و $t_4$ هم به‌ترتیب جمله‌های اول، دوم، سوم و چهارم دنباله‌تان را قرار دهید و دستگاه معادله را حل کنید. اما چون این روش را در این پاسخ شرح داده‌ام و در صورت تمایل می‌توانید آن را ملاحظه کنید، راه دیگر که البته کمی جالب‌تر هم است را در این پاسخ می‌آورم.

ابتدا در شکل کلی جملۀ عمومی دنباله، به‌جای $n$، اعداد 1، 2، 3 و 4 را قرار دهید. دنباله‌ای به‌شکل زیر تشکیل می‌شود:

$$\{\boxed{\color{black}{a + b + c + d}}\color{red}{,} \color{black}{8a + 4b + 2c + d}\color{red}{,} \color{black}{27a + 9b + 3c + d}\color{red}{,} \color{black}{64a + 16b + 4c + d}\}$$

سپس اختلاف هر جمله با جملۀ قبلی را به‌دست آورید و با آن دنباله‌ای جدید تشکیل دهید:

$$\{\boxed{\color{black}{7a + 3b + c}}\color{red}{,} \color{black}{19a + 5b + c}\color{red}{,} \color{black}{37a + 7b + c}\}$$

باز هم اختلاف‌ها را به‌دست آورید و دنباله‌ای جدید تشکیل دهید:

$$\{\boxed{\color{black}{12a + 2b}}\color{red}{,} \color{black}{18a + 2b}\}$$

اختلاف این دو را نیز به‌دست آورید:

$$\{\boxed{\color{black}{6a}}\}$$

می‌توانیم چهار دنباله‌ای که در ابتدا داشتیم را با چهار دنبالۀ بالا تطبیق دهیم تا $a$، $b$، $c$ و $d$ به‌دست آید.

$$\{\boxed{1}, 2, 9, 28, 65, ...\}$$ $$\{\boxed{1}, 7, 19, 37, ...\}$$ $$\{\boxed{6}, 12, 18, ...\}$$ $$\{\boxed{6}, 6, ...\}$$

فقط با جملات اول کار داریم. از پایین شروع می‌کنیم و به‌شکل عقب‌گرد، مقادیر $a$، $b$، $c$ و $d$ را به‌دست می‌آوریم.

$6a = 6 \Rightarrow \boxed{a = 1}$

$\Rightarrow 12(1) + 2b = 6 \Rightarrow \boxed{b = -3}$

$\Rightarrow 7(1) + 3(-3) + c = 1 \Rightarrow \boxed{c = 3}$

$\Rightarrow 1 + (-3) + 3 + d = 1 \Rightarrow \boxed{d = 0}$

پس جملۀ عمومی دنباله‌تان به شکل زیر می‌شود:

$$t_n = n^3 - 3n^2 + 3n = (n - 1)^3 + 1,\ (n \in \mathbb{N})$$