حد دنباله $\lim_{n}( \frac{1\cdot3\cdot5\cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6 \cdot \cdot \cdot (2n)} ) $

Question

حاصل حد دنباله زير را حساب كنيد ؟

$$\lim_{n}( \frac{1\cdot3\cdot5\cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6 \cdot \cdot \cdot (2n)} ) $$

Answer 1

قضیه

$$ \forall x \in \mathbb{R} :1+x \leq e^x$$

---

حال دنباله را بازسازی میکنیم :

$$a_n= \prod _{k=1}^{n} \big(1-\dfrac{1}{2k}\big) $$

از نامساوی ذکر شده استفاده میکنیم :

$$1+(\frac{-1}{2})\leq e^{(\frac{-1}{2})}$$ $$1+(\frac{-1}{4})\leq e^{(\frac{-1}{4})}$$ $$.\\.\\.\\$$ $$1+(\frac{-1}{2n})\leq e^{(\frac{-1}{2n})}$$

حال به صورت ستونی نامساوی هارو ضرب میکنیم خواهیم داشت :

$$ a_n= \prod _{k=1}^{n} \big(1-\dfrac{1}{2k}\big) \leq e^{(\frac{-1}{2} H_n)} $$

به طوری که :

$$H_n =\sum _{k=1}^{n} \dfrac{1}{n}$$

حال میدانیم که حاصل سری هارمونیک بینهایت است در نتیحه :

$$\lim_{n}\dfrac{-1}{2}H_n=-\infty $$

و همچنین میدانیم که :

$$\lim_{n\to -\infty}e^n =0$$

بنابراین حاصل حد خواهد بود :

$$\lim _n a_n=0$$

Answer 2

راهنمایی: $$\lim_{n}( \frac{1\cdot3\cdot5\cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6 \cdot \cdot \cdot (2n)} )=\lim_{n}( \frac{(2n)!}{2^2 ((n)!)^2} )$$

از فرمول استرلینگ استفاده کن.