تابع درجه ربطی به تابع وزن ندارد، برای همین مطلب زائدی در پرسشتان اشاره کردهاید. گراف بیجهت که یال موازی نیز نداشته باشد را گراف ساده میگویند (دو یال را موازی گوئیم هر گاه بین دو گرهٔ یکسان باشند). پرسش شما در واقع پیرامون گرافهای ساده است. برای چنین گرافهایی، وزن یک یال را میتوان با تابعی مانند $f(x,y)$ که دامنهٔ آن مجموعهٔ یالها به عنوان زیرمجموعهٔ حاصلضرب دکارتی مجموعهٔ گرهها در خودش است و برد آن مجموعهٔ وزنگذار است، نمایش داد. در نتیجه اینکه وزن یال بین گرهٔ $A$ و گرهٔ $B$ برابر ۳ باشد را میتوان به این شکل بیان کرد که $f(A,B)=3$.
اکنون ماتریسی که آوردهاید دقیقا ماتریس همسایگی است adjacency matrix که درایهٔ $(i,j)$-اُم آن زمانی یک بود که بین دو گرهٔ $i$اُم و $j$اُم یالی باشد و در غیر اینصورت صفر میبود. اما در اینجا به جای یک، مقدار $f(i,j)$ را قرار میدهید. توجه کنید که ماتریس همسایگی برای یک گراف ساده همیشه متقارن و روی قطر اصلیاش صفر است. دلیل آن نیز این است که چون طوقه ندارید بین یک گره و خودش یالی نیست. بعلاوه چون یالها بیجهت هستند، یک یال که بین $i$ و $j$ باشد بین $j$ و $i$ نیز هست. در واقع دو انتهای یک یال را از هر سمت نگاه کنید فرقی ندارد.
شکل گراف سادهٔ وزندار مربوط به ماتریس همسایگی (با درایههای وزن)تان در زیر آمدهاست:
دوباره تأکید میکنم که یک گراف دارای یال موازی حتی اگر بیجهت و بیطوقه باشد را نمیتوان با این ایده وزنگذاری کرد! پس نمیتوان به شکلی که توضیح دادهشد، یالهایش را وزنگذاری کرد. زیرا که بین دو گره میتواند چند یال باشد و یک یال با تنها اشاره کردن به گرههای دو انتهایش به طور یکتا مشخص نمیشود.
