$f(x)+f( \frac{1}{1-x} )=x$

Question

تمام توابع $f$ به طوری که به ازای هر $x \neq 0,1$ داشته باشیم :

$$f(x)+f( \frac{1}{1-x} )=x$$

Answer 1

اگر در فرمول

$$f(x)+f(\frac 1{1-x})=x\tag{*}\label{*}$$

قرار دهیم $x\to \frac 1{1-x}$ خواهیم داشت:

$$f(\frac 1{1-x})+f(\frac{x-1}x)=\frac 1{1-x}\tag{**}$$

همچنین اگر در $\eqref{*}$قرار دهید $x\to \frac{x-1}x$ در اینصورت خواهیم داشت:

$$f(\frac{x-1}x)+f(x)=\frac{x-1}x\tag{***}$$

داریم:

$$(*)-(**)+(***)=2f(x)=x-\frac 1{1-x}+\frac{x-1}x$$

لذا

$$f(x)=\frac 12(x-\frac 1{1-x}+\frac{x-1}x)$$

Answer 2

ابتدا تعریف میکنیم :

$$g(x)=\dfrac{1}{1-x}$$

حال همینطور که مشخص است داریم :

$$f(x)+f[g(x)]=x\\ f[g(x)]+f[g(g(x))]=g(x)\\ f[g(g(x))]+f[g(g(g(x)))]=g(g(x))$$

و همچنین داریم :

$$g(g(g(x)))=x$$

در نتیجه ما یک دستگاه سه معادله و سه مجهول داریم که مجهول ها را تعریف میکنم :

$$f(x) \ \ , \ \ f[g(x)] \ \ , \ \ f[g(g(x))]$$

در پایان خواهیم داشت :

$$2f(x)=x-\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x}$$