در این پاسخ به جای یافتن تابعی که در حکم شما صدق کند نشان میدهیم که هیچ تابعی از نوع تابعهایی که در پرسشهای مشابه (برای نمونه این پرسش که آقای @erfanm پاسخ دادهاند) وجود ندارد که در حکم شما صدق کند. بنابراین اگر یا در نوشتن ضابطهٔ حکم اشتباه دارید یا طراح پرسش پرسش را اشتباه طرح کردهاست یا اینکه تابع از شکل دیگری مدنظر بودهاست.
ابتدا بیاییم ببینیم این دسته از توابع که میخواهیم بررسی کنیم چگونه نمایش داده میشوند. اگر عبارتهای آمده در ضابطهٔ تابع
$$\frac{1}{2}\big(\frac{2-x}{1-x}+(x+1)-\frac{2x-1}{x}\big)$$
را ساده کنیم یک تابع گویا (کسری) با صورت و مخرج درجه دو داریم (توجه کنید که تابعهای گویای با صورت و مخرج درجهٔ کمتر یا چندجملهای درجهٔ حداکثر دو و غیره نیز به این شکل میتوانند نوشته شوند). پس یک نمایش استاندارد برای آن برمیداریم.
$$\frac{a_2x^2+a_1x+a_0}{b_2x^2+b_1x+b_0}$$
اگر $b_2\neq 0$، آنگاه میتوان بدون کاستن از کلیت برای کاستن تعداد پارامترها تمامی ضریبها را بر $b_2$ تقسیم کرد و نتیجههای جدید را با همان نمادهای قبلی بازاسمگذاری کرد. پس با ۵ پارامتر به طور یکتا مشخص میشود.
$$\frac{a_2x^2+a_1x+a_0}{x^2+b_1x+b_0}$$
برای پیدا کردن این ۵ پارامتر اگر ۵ معادله (برابری) مستقل خوب داشته باشیم کفایت میکند. برای این کار در عبارت
$$f(x)+f(\frac{1-x}{x})=x$$
عددهای $x=0,1,-1,2,\frac{-1}{2}$ را جایگذاری میکنیم، پس داریم
$$\begin{array}{lllr}
f(0) & +\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) & = & 0\\
f(1) & +f(0) & = & 1\\
f(-1) & +f(-2) & = & -1\\
f(2) & +f(-\frac{1}{2}) & = & 2\\
f(\frac{-1}{2}) & +f(-3) & = & -\frac{1}{2}
\end{array}$$
اگر $f$ را به تابعهای گویای ۵ پارامتریمان محدود کنیم آنگاه ۵ معادله و ۵ مجهول داریم. به جای نوشتن همهٔ این ۵ معادله، در اینجا تنها معادلهٔ نخست که کوتاه هم هست را میآورم.
$$\frac{a_0}{b_0}+\frac{a_2}{1}=0$$
با حل این دستگاه از برابریها (معادلات) یک پاسخ یکتا که تا چند رقم اعشار برابر زیر است بدست میآوریم.
$$a_2=-4.043696139,\;a_1=2.911123933,\;a_0=6.967597371,\;b_1=-4.640161701,\;b_0=1.723076398$$
هنوز کار تمام نشدهاست. اگر مجموعهپاسخ دستگاه بالا تهی میبود نتیجه میگرفتیم که چنین تابعی موجود نیست که در حکم صدق کند. در حالتی که پاسخ داشته باشد نمیتوانیم سریع بگوئیم که پس تابع را یافتیم. باید مقدار پارامترها را جایگذاری کنیم و تابع یافت شده را در عبارت حکم جایگذاری کنیم. اگر پس از سادهسازی به برقراری برابری حکم رسیدیم، آنگاه یعنی تابعی پیدا کردهایم که در آن صدق میکند و گر نه یعنی چنین تابعی موجود نیست. با جایگذاری پارامترها داریم:
$$f(x)=\frac{-4.043696139x^2+2.911123933x+6.967597371}{x^2-4.640161701x+1.723076398}$$
اکنون با ساده کردن $f(x)+f(\frac{1-x}{x})$ به (تقریبی از) $x$ نمیرسیم. رسم حاصل سادهشده در شکل زیر آمدهاست، خطهای عمودی، مجانبهای عمودی هستند، همانطور که میبینید شباهتی به رسم تابع $x$ که نیمساز یکچهارم یکُم و سوم است ندارد. پس نتیجه میگیریم که چنین تابعی موجود نیست.
اکنون میماند بررسی حالت $b_2=0$. در این حالت نیز یک تابع ۵ پارامتری داریم.
$$\frac{a_2x^2+a_1x+a_0}{b_1x+b_0}$$
توجه کنید که اگر $a_2\neq 0$ آنگاه برابری حکم به صورت بدیهی برای $x=0$ برقرار نخواهد شد. پس باید $a_2=0$. پس اکنون ۴ پارامتر داریم. دوباره دو حالت در نظر میگیریم یا $b_1\neq 0$ یا $b_1=0$. اگر $b_1=0$ دوباره با دلیل مشابه باید $a_1=0$ ولی در این حالت تابعمان یک تابع ثابت برابر با $\frac{a_0}{b_0}$ میشود که جایگذاریاش در برابری حکم تناقض میسازد. پس حتما باید $b_1\neq 0$. و از این رو میتوانیم بدون کاستن از کلیت تمامی ضرایب را بر $b_1$ تقسیم کنیم و با یک اسمگذاری دوباره داریم.
$$\frac{a_1x+a_0}{x+b_0}$$
این بار به ۳ معادله نیاز داریم. با حل دستگاه بدست آمده از جایگذاری $x=0,1,-1$ به یک پاسخ حقیقی یکتا میرسیم و سپس با جایگذاری پارامترها و سادهسازی سمت چپِ برابری حکم به چیزی غیر از $x$ میرسیم که رسم آن در زیر آمدهاست.
این اثبات عدم وجود تابع گویا با صورت و مخرج از درجهٔ حداکثر ۲ که در برابری حکم صدق کند را کامل میکند.
