$f(f(n))=2n$

Question

آیا تابعی $f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ وجود دارد که :

$$f(f(n))=2n$$

Comments

فکر نکنم بشه تابعی پیدا کرد. آدرس زیر رو ببینید:
http://math.stackexchange.com/questions/66093/how-to-find-the-function-f-given-ffx-2x
تابعی که این مشخصات رو داشته باشه بردش اعداد طبیعی نیست و نمیتونه در معادله بالا صدق کنه.

Answer 1

بنابر فرض مساله واضح است که $$f(f(f(n)))=2f(n)$$

و همچنین $$f(f(f(n)))=f(2n)$$

لذا $f(2n)=2f(n)$ و لذا با استقرا داریم $f(2^kn)=2^kf(n)$

که این فرمول نشان می دهد چنانچه ما تمام مقادیر $f$ را روی اعداد طبیعی فرد بدانیم آنگاه می توانیم مقادیر آن را با فرمول بالا برای مقادیر زوج هم پیدا کنیم.

به طور کلی اگر مجموعه اعداد فرد را به دو زیرمجموعه $A,B$ افراز کنیم و تابع $f$ را روی یکی از این زیر مجموعه ها با یک تناظر یک به یک به اعضای زیرمجموعه دیگر تعریف کنیم در اینصورت به تابعی می رسیم که درشرایط مساله صدق می کند. بنابراین نامتناهی تابع در شرایط مساله صدق می کند.

به عنوان مثال اگر اعداد فرد را به دو مجموعه ی اعداد فرد به صورت $4m-3$ و اعداد فرد $4m-1$ افراز کنیم در اینصورت تعریف میکنیم $$f(1)=3\\ f(5)=7\\ f(9)=11\\ \vdots \\ f(4m-3)=4m-1\\ \vdots $$ در اینصورت تابع $f$ روی اعداد فرد به صورت $4m-3$ تعریف شده است و همچنین روی اعداد فرد به صورت $4m-1$ داریم: $$f(4m-1)=f(f(4m-3))=2(4m-3)$$ و روی اعداد زوج هم که می توانیم به صورت $2^kn$ بنویسیم به صورت $f(2^kn)=2^kf(n)$ تعریف شده است.

منبع