سوپریمم ناشمارای توابع اندازه پذیر ممکن است اندازه پذیر نباشد.

Question

یک خانواده ناشمارای $ \big\{f_\alpha \big| \alpha \in I \} $ از توابع اندازه پذیر مثال بزنید که $ f=\sup_{\alpha\in I } f_\alpha $ تابع اندازه پذیر نباشد.

Answer 1

می دانیم که اگر $(X,\mathcal M) $ یک فضای اندازه باشد آنگاه:

$\chi_A:X\to\mathbb R $ که به صورت $\chi_A(x)=\begin{cases} 1&x\in A\\ 0&x\notin A \end{cases} $ تعریف می شود اندازه پذیر است اگر و تنها اگر $ A$ اندازه پذیر باشد.

مجموعه اندازه ناپذیر ویتالی $ N $ را در نظر بگیرید.(به اینجا یا اینجا نگاه کنید)

در اینصورت بنابر نکته بالا $\chi_N $ اندازه پذیر نیست چون $ N $ اندازه پذیر نیست. در حالیکه $ \chi_{\{x\}} $ برای هر $ x\in N $ اندازه پذیر است(چون $ \{x\} $ اندازه پذیر است) و از طرفی داریم$\sup_{x\in N} \chi_{\{x\}}=\chi_N $ (چرا؟)

Comments

لطفا میشه در مورد supx∈Nχ{x}=χN بیشتر توضیح بدین؟؟؟

---

@رها : فرض کنیم $y\in\mathbb R$ دلخواه باید نشان دهیم $\sup_{x\in N}\chi_{\{x\}}(y)$  و $\chi_N (y)$با هم برابرند. کافی است دو حالت را در نظر بگیرید: $y\in N$ یا $y\notin N$.
ساده س مطمینم میتونید انجام بدید.

---

راستش هرچی فکر میکنم برام قابل هضم نیست!!!

---

اگر $y\in N$ آنگاه $\chi_N(y)=1$ و از طرفی $\chi_{\{x\}}(y)=0$ به ازای هر $y\neq x$ و فقط وقتی که $y=x$ باشد $\chi_{\{x\}}(y)=1$ . لذا تمام جملات $\{\chi_{\{x\}}(y):y\in N\}$ برابر صفر هستند به جز برای وقتی که $y=x$ چون $\chi_{\{x\}}(y)=1$ . لذا $\sup\{\chi_{\{x\}}(y):y\in N\}=\sup\{0,1\}=1$. برای حالت $y\notin N$ به طور مشابه عمل کنید.