حد دنباله $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n} } }=e$

Question

حد مقابل را اثبات کنید وقتی که n به سمت بی نهایت میل کند $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n} } }=e\ $$

Comments

لطفا برای تایپ سوالتان راهنمای تایپ ریاضی را مطالعه کنید

---

چندان دشوار نیست. یه نامساوی چهارتایی معروف بیت لیمیت سوپ و اینف جذر nام هست که باید از اون استفاده کنی.وقت کردم جوابو می نویسم. راه دیگه قضیه استولز.

Answer 1

می توانید از فرمول تقریب استرلینگ استفاده کنید: $$(n!)^{\frac 1n}\sim \frac ne(2\pi n)^\frac{1}{2n}$$

به عبارت دیگر $$\frac{n}{(n!)^{\frac 1n}}\sim \frac{e}{(2\pi n)^{\frac 1{2n}}}$$

حال چنانچه از اینکه $\lim_{n\to \infty}n^{\frac 1n}=1$ و $\lim_{n\to \infty}(a)^{\frac 1n}=1$ ($a>0$) استفاده کنیم داریم $\lim_{n\to \infty}\frac{n}{(n!)^{\frac 1n}}=e$

Answer 2

ابتدا فاکتوریل را به تابع گاما تبدیل کنید. سپس از هوپیتال و بسط تابع دایگاما استفاده کنید.

Comments

توضیحات بالا، هم ارزی دو تابع زیر را در $x \to \infty $ اثبات می کند که در این مورد و موارد مشابه به سادگی می توان استفاده کرد.
$$\frac d {dx} \ln x! \cong \ln x $$

Answer 3

می دانیم برای هر دنباله $ \lbrace a_{n} \rbrace $ با جملات مثبت همواره داریم:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \inf \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \inf \sqrt[n]{ a_{n} } \leq \lim_{n\rightarrow \infty } \sup \sqrt[n]{ a_{n} } \leq \lim_{n \rightarrow \infty } \sup \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } $$

---

قرار می دهیم $ a_{n} = \frac{ n^{n} }{n!} $ به راحتی داریم $ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n}}=e $

بنابراین:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{ \sqrt[n]{n!} } =e$$

Comments

اثبات این قضیه‌ای که اینجا ازش استفاده کردی رو بلدی؟ یا کتابی هست کو بتونم اثباتشو پیدا کنم؟