رفع ابهام حد بدون استفاده از قاعده هوپیتال

Question

سلام. می خواستم بدونم روشی برای رفع ابهام حد $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{sinx}{x-\pi}$ بدون استفاده از قاعده هوپیتال وجود داره یا نه. با استفاده از هوپیتال جواب -1 میشه اما از اونجایی که این تمرین یکی از سوالات کتاب درسیه و در کتاب درسی به قاعده هوپیتال اشاره نشده حتما باید روشی برای رفع ابهامش بدون استفاده از این قاعده وجود داشته باشه.ممنون میشم اگه راهنمایی کنید روشش چیه.

سوال دیگم اینه که مشکل استدلال زیر چیه؟ $$\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{sinx}{x-\pi} = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{xsinx}{x(x-\pi)} = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{x}{x-\pi} = \infty $$

Comments

استدلالت اشتباهه چون اون وسط سینوس ایکس تقسیم بر ایکس رو غیب کردی

---

حق با شماست. اشتباهی فک کردم داخل سینوس به سمت صفر میره.

Answer 1

Comments

سلام ممنون. استدلالتون صحیحه. نمیدونید مشکل استدلالی که نوشتم کجاست؟

---

sinx به  x حدآن درهمسایگی پی صفر است چگونه آن را حذف می کنید؟این کار غلط است

---

@amirabbas
توجه داشته باش که مرحله ی آخر محاسباتت اشتباهه چون تابعت در مرحله ی آخر حد نداره.اگه ایکست بره پی راست میشه مثبت بینهایت اگه بره پی چپ میشه منفی بینهایت،دلیلشم اینه سینوس ایکس ایکسم در اطراف نقطه ی پی اصلا برابر با یک نمیشه،این اتفاق فقط در نقطه ی صفر میوفته اونم چونکه ایکس هم ارز مرتبه اول سیونوسه و اصن نموداراشون توی پی،کلی از هم فاصله دارن.پس اتدلالت از اول اشتباهه.