Question

اگر $x^{2}+x+1=0$ باشد مقدار $x^{500}+ \frac{1}{ x^{500} }$ را حساب کنید.من تا اینجا حل کردم ولی بقیه رو نمی دونم. $x^{2}+1=-x \Longrightarrow x+ \frac{1}{x}=-1$

Answer 1

$x^2+x+1=0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow x^3=1$

اگر $x^3$ را در عبارت جاگذاری کنیم داریم:

$x^{500}+\frac{1}{x^{500}}=x^2+\frac{1}{x^2}$

$x^2+x+1=0 \Rightarrow x^2+1=-x \Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1$

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=1-2=-1$

پس داریم:

$x^{500}+\frac{1}{x^{500}}=-1$

نکته:در بالا که $x^3=1$ را به دست اوردیم نمی توانیم بگوییم $x=1$ چون معادله جواب های دیگری نیز دارد و حتی $x=1$ در معادله صدق نمی کند.پس تنها اطلاعاتی که می توانیم استفاده کنیم معادله اصلی یا $x^3=1$ است.