به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+2 امتیاز
352 بازدید
در دبیرستان توسط mahdi1379 (275 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $ x^{2}+x+1=0 $ باشد مقدار $ x^{500}+ \frac{1}{ x^{500} } $ را حساب کنید.من تا اینجا حل کردم ولی بقیه رو نمی دونم. $ x^{2}+1=-x \Longrightarrow x+ \frac{1}{x}=-1 $

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Taha1381 (1,789 امتیاز)
انتخاب شده توسط mahdi1379
 
بهترین پاسخ

$x^2+x+1=0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow x^3=1$

اگر $x^3$ را در عبارت جاگذاری کنیم داریم:

$x^{500}+\frac{1}{x^{500}}=x^2+\frac{1}{x^2}$

$x^2+x+1=0 \Rightarrow x^2+1=-x \Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1$

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=1-2=-1$

پس داریم:

$x^{500}+\frac{1}{x^{500}}=-1$

نکته:در بالا که $x^3=1$ را به دست اوردیم نمی توانیم بگوییم $x=1$ چون معادله جواب های دیگری نیز دارد و حتی $x=1$ در معادله صدق نمی کند.پس تنها اطلاعاتی که می توانیم استفاده کنیم معادله اصلی یا $x^3=1$ است.

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...