به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
200 بازدید
در دبیرستان توسط mahdi1379 (275 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

اگر $ x^{2}+x+1=0 $ باشد مقدار $ x^{500}+ \frac{1}{ x^{500} } $ را حساب کنید.من تا اینجا حل کردم ولی بقیه رو نمی دونم. $ x^{2}+1=-x \Longrightarrow x+ \frac{1}{x}=-1 $

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Taha1381 (1,691 امتیاز)
انتخاب شده توسط mahdi1379
 
بهترین پاسخ

$x^2+x+1=0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow x^3=1$

اگر $x^3$ را در عبارت جاگذاری کنیم داریم:

$x^{500}+\frac{1}{x^{500}}=x^2+\frac{1}{x^2}$

$x^2+x+1=0 \Rightarrow x^2+1=-x \Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1$

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=1-2=-1$

پس داریم:

$x^{500}+\frac{1}{x^{500}}=-1$

نکته:در بالا که $x^3=1$ را به دست اوردیم نمی توانیم بگوییم $x=1$ چون معادله جواب های دیگری نیز دارد و حتی $x=1$ در معادله صدق نمی کند.پس تنها اطلاعاتی که می توانیم استفاده کنیم معادله اصلی یا $x^3=1$ است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...