Question

اگر $ x^{2}-x+1 =0 $ باشد ، حاصل $ x^{2000}+x^{1420}+x^{1378}+ x^{2}+1 $ را حساب کنید.

Comments

دقت کنید که:

$(x^2-x+1)(x+1)=0 \Rightarrow x^3+1=0 \Rightarrow x^3=-1$

Answer 1

داریم:

$(x^2-x+1)(x+1)=0 \Rightarrow x^3+1=0 \Rightarrow x^3=-1$

و همچنین $x^6=1$ پس داریم:

$x^{2000}+x^{1420}+x^{1378}+ x^{2}+1=x^2+x^4+x^4+x^2+1$

$=x^2-x-x-x^2+1=(x^2-x+1)+(x^2-x)=x^2-x$

و از رابطه ی سوال داریم:

$x^2-x+1=0\Rightarrow x^2-x=-1$