Question

مفهوم فضای سوبولوف (Sobolev space) چیست؟ این فضا چه متری دارد؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

شما باید اول مبانی نظریه توزیع رو بدونید یعنی مفاهیم توزیع منظم و توزیع و مشتق توزیع و پیوستگی و همگرای توزیع ها رو بدونید تا بتونید مفهوم فضاهای سوبولف رو درک کنید. این فضا نقش مهمی در فرمولبندی تغییراتی معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی داره و به طور کلی مسائل cp داره. برای اینکه بتونید به صورت مقدماتی یاد بگیرید کتابی رو بهتون معرفی میکنم که بسیار جالب و مقدماتی به همه ی این مباحث پرداخته و کمتر کتابی مثل اون رو میشه مثال زد.
Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations
نوشتهٔ
Joël Chaskalovic

Answer 1

انتگرال لبگ برای رفع مشکلات انتگرال ریمان مطرح شد. آقای لبگ انتگرال توابع (مساحت زیر منحنی) را به گونه ای متفاوت از ریمان محاسبه کرد و روش وی در مقایسه با روش ریمان، برای محاسبه طیفی خیلی وسیع تر از توابع قابل استفاده است. روش لبگ در محاسبه مساحت ها از مفهوم اندازه یک مجموعه کمک می گیرد و به شکلی خیلی ساده و ماهرانه انتگرال ها را به صورت مستطیل های افقی محاسبه می کند. به طبع این نحوه محاسبه انتگرال فضاهای تابعی از فضاهای n بار مشتق پذیر پیوسته به فضاهای انتگرال پذیر ریمان گسترش یافتند که مشهور هستند به فضاهای لبگ. اگر مفهوم همواری تابع (مشتق پذیری تابع) را بخواهیم بررسی کنیم و اندازه بگیریم نیازی به تعریف هایی داریم. در واقع در فضاهای لبگ آن توابعی که به مفهومی ضعیف (نه کلاسیک) مشتق دارند و تابع مشتق خود انتگرال پذیر لبگ است تشکیل فضای سوبولوف می دهند. مشخص شده است که جواب معادلات دیفرانسیل را در فضاهای سوبولوف باید جستجو کرد و این فضاها لانه جواب های معادلات دیفرانسیل هستند. خوشبختانه قضیه هایی وجود دارند که تقریب زدن توابع در فضاهای سوبولوف را با توابع پیوسته و مشتق پذیر تا مرتبه ای متناظر با مرتبه فضای سوبولوف ممکن می سازند. کتاب Numerical analysis theoretical analysis framework نوشته K. Atkinson هم مرجع خوبی است به نظر من.