متناقض نمای (پارادوکس) باناخ-تارسکی چیست؟

Question

شنیده‌ام که متناقض‌نمایِ باناخ-تارسکی بیان می‌کند که از یک کره، دو کره پدید می‌آید. ولی کجا می‌توانم توضیح آن را بیابم که چگونه از یک کُره به دو تا می‌رسد؟ با تشکر.

Comments

تناقض باناخ تارسکی بیان می کند که برای $n\geq 3$ و مجموعه های باز کراندار $U,V$ از $\mathbb R^n$ زیرمجموعه های $E_1,E_2,...,E_m, F_1,F_2,...,F_m\subseteq \mathbb R^n$ موجودند که
1. مجموعه های $E_i$ مجزا هستند و $\cup E_i=U$
2. مجموعه های $F_i$ مجزا هستند و $\cup F_i=V$
3. برای هر $i=1,...,m$ مجموعه های $E_i$ و $F_i$  همنهشت هستند.


اثباتش رو من قبلا ندیده بودم ولی اگر سرچ بکنید در اینترنت منابع زیادی رو می تونید پیدا کنید.
مثلا برای حالت $n=3$  در https://proofwiki.org/wiki/Banach-Tarski_Paradox ثابت شده است.
در فصل اول کتاب the axiom of choice هم این موضوع اثبات شده است https://books.google.com/books?id=pFnrGid7KxIC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

Answer 1

پارادوکس باناخ-تارسکی، یک پارادوکس منطقی است که در آن یک شیء به دو قسمت تقسیم می‌شود و سپس با استفاده از چندین عملیات ساده، هر دو قسمت به اندازه و شکل قبلی خود بازسازی می‌شوند. به عبارت دیگر، این پارادوکس نشان می‌دهد که با انجام عملیات‌های ساده، می‌توان یک شیء را بازسازی کرد، حتی اگر این عملیات‌ها شامل تغییرات کوچک و بدون اهمیت باشند.

این پارادوکس نشان می‌دهد که مفهوم شکل و حجم در جهان واقعی، به طور کامل با قوانین منطق سازگار نیست و ممکن است به نظر منطقی نیاید. این پارادوکس به نام دو ریاضیدان اروپایی باناخ و تارسکی نامگذاری شده است که در دهه ۱۹۳۰ به آن رسیدند.

برای توضیح پارادوکس باناخ-تارسکی، می‌توانیم فرض کنیم که یک کره را به دو نیمه تقسیم می‌کنیم. سپس این دو نیمه را به دو بخش کوچک‌تر تقسیم می‌کنیم و هر بخش را به دو بخش کوچک‌تر تقسیم می‌کنیم. این عملیات را تا زمانی ادامه می‌دهیم که به بخش‌های بسیار کوچک و جزئی برسیم. در این حالت، هر بخش به شکل یک کره کوچک با شکل و حجم مشابه نیمه اولیه خود بازسازی می‌شود.

این پارادوکس نشان می‌دهد که با انجام عملیات‌های ساده، می‌توان یک شیء را بازسازی کرد، حتی اگر این عملیات‌ها شامل تغییرات کوچک و بدون اهمیت باشند. این مفهوم با قوانین منطق سازگار نیست و به نظر منطقی نمی‌آید. به همین دلیل، پارادوکس باناخ-تارسکی یکی از پارادوکس‌های معروف در فلسفه و منطق است.