وابسته به اینکه از چه ابزاری و با چه رشتهٔ تحصیلی یا تخصص پژوهشیای یا دید view به موضوع نگاه کنید به روشهای متنوعی میتوانید این مسألهٔ سادهٔ «رشد جمعیت» را بیان کنید. همگی یک چیز را بیان میکنند و در حد یک تقریب قرار است پیشبینی یکسانی انجام بدهند (با فرض اینکه مفروضات مورد استفادهٔ همهشان یکسان باشد). من به دلیل پیشزمینهٔ شبکهٔ واکنشیام در دورهٔ دکترا نخستین مدلسازیای که به ذهنم میرسد با کمک شبکههای واکنشی است. قبل از اینکه به تعریف مفهومهای خواستهشدهتان بپردازیم یک توضیح کوتاه (ولی ممکن است برای شما بلند به نظر بیاید) از شبکههای واکنشی میپردازیم. خیلی خلاصه شما یک سری ماده، مفهوم یا هر چیزی دارید که دارای کمیت عددی هستند برای نمونه مواد شیمیایی در یک آزمایش شیمی، پروتئینها در یک آزمایش زیستی، باکتریها و ویروسها و آنتیبیوتیکها و غیره در مطالعهٔ بیماریها، یا انسانهای با ملیت کشور خاص در مطالعهٔ جمعیت کشورها و غیره. و همینطور یک سری واکنش، برای نمونه آمیختهشدن دو مادهٔ شیمیایی و تولید مادهای دیگر، تجزیهشدن، ترکیبشدن، واکنشهای کاتالیزدار، خوردهشدن یک حیوان توسط یک حیوان دیگر پس از مواجهه شدن با یکدیگر در شرایط مساعد، مرگومیر، تولد و غیره. پس دو چیز مهم در یک شبکهٔ واکنشی دارید: مادهها، واکنشها. برای یک شبکهٔ واکنشی سریع باید دو چیز را تشکیل دهید. نخست گراف شبکهٔ واکنشی (یک گراف جهتدار برچسبدار -وزندار-)، سپس دستگاه پویا (سیستم دینامیکی - دستگاهی شامل برابریهای دیفرانسیلی یا همان معادلات دیفرانسیل). هر یال از گراف شما متناسب با یک واکنش شبکهتان است، گرهٔ شروعِ یالتان مجموعهٔ واکنشدهندهها (مصرفشوندگان) -ِ واکنش و گرهٔ پایان یالتان مجموعهٔ فرآوردهها (تولیدشوندگان) هستند. برچسب یا وزن یالتان، پارامتر نرخ انجام شدن این واکنش است. این پارامتر برابر است با تعداد دفعاتی که این واکنش در واحد زمان روی میدهد با فرض رویاروی شدن تعداد واحد لازم از هر یک از مادههای شرکتکننده در بخش واکنشدهندگان واکنش. فرض کنید شبکهٔ ما یک تکواکنشی است با واکنشِ
$$\require{mhchem}
2A+3B\ce{->[k]}C
$$
باشد. در اینصورت ۳ ماده به نامهای $A$ و $B$ و $C$ دارید. گراف شبکهتان دو گره و یک یال دارد. توجه کنید کنید که جهت هر یال از واکنشدهندهٔ واکنش متناظرش به سمت فرآوردهاش است. اگر واکنشی دوسویی است، آن را دو واکنش تکسویی نمایش میدهیم یعنی دو یال جهتدار داریم، در زیر یک نمونه واکنش دوسویی میبینید.
$$\require{mhchem}
X_1\ce{< =>[k_1][k_2]}X_2
$$
به هر حال به مثال موقتمان برگردیم. برای هر ماده یک کمیت، متغیر داریم. شیمیدانها معمولا این متغیر را که اغلب غلظت یک ماده است با علامت کروشه (bracket) در اطراف نامش نمایش میدهند ولی ریاضیدانها معمولا از حرف کوچک متناظر با نام آن ماده استفاده میکنند. پس کمیت (متغیر) مقدارِ مادهٔ $A$ را با نمادهای $[A]$ یا $a$ نمایش میدهند. مسلما به خاطر پسزمینهٔ ریاضیمان یا ماهیت ریاضی این سایت ما هم تمایل به استفاده از نمادگذاریهای رایج ریاضیدانها داریم. اما آیا غلظت یک مادهٔ شیمیایی در طول یک آزمایش ثابت میماند؟ یا جمعیت یک کشور در طول تاریخ و زمان همیشه عددی ثابت است؟ خیر. پس این متغیر در واقع یک تابع بر حسب زمان است و دقیقتر میبایست به شکلِ $a(t)$ که $t$ نشاندهندهٔ زمان است، نوشته شود. اما همانطور که در طول تحصیلتان کم کم میبینید، همیشه تمایل به کمترنویسی داریم و زمانی که بیم ابهام نرود قرارداد میکنیم که زمانی که چیزی را نمینویسیم منظور چیست. در اینجا نیز ما از نوشتنِ صریح وابستگی به زمان خودداری میکنیم و فرض میکنیم شمایی که خوانندهٔ این متن هستید از الآن به بعد میدانید که تمامی متغیرهای مربوط به کمیتِ مادههای شبکهمان دارای یک پرانتز t هستند. اما چگونه تغییر این متغیرها را مدل کنیم؟ ابتدا باید kinetics (نمیدانم فارسی آن را چه برگرداندهاند یا همارزش را چه انتخاب کردهاند ولی قدیم در کتابهای شیمی دبیرستان سینتیک نوشتهبودند که ترجمه نیست و تنها بازنویسی واژه است) انتخاب کنید، اینکه چه نوع سینتیکهایی وجود دارد و چه زمانی کدام را باید استفاده کنیم بحث نمیکنیم و یکراست به سراغ معمولترینش میرویم که به گوشتان آشناست. سینتیکِ بقای جرم. سینتیک را میتوانید قانونِ نوشتن معادلهدیفرانسیلهای شبکهتان در نظر بگیرید. قانون بقای جرم به ما میگوید تغییر غلظت یا کمیت مادههای شبکهمان برابر است با جمع تغییر آن در تکتک واکنشها. سپس میگوید در یک واکنش برابر است با ضرب تغییر این ماده برای یک بار انجام شدن این واکنش در نرخِ انجام شدن این واکنش در واحد زمان. تغییر ماده در یک بار انجام شدن واکنش به روشنی برابر با تفاضل تعداد این ماده در سمت فرآورده از تعدادش در سمت واکنشدهنده است یعنی تعدادی که از این ماده تولید میشود منهای تعدادی که از این ماده مصرف میشود. نرخ انجامشدن این واکنش برابر با ضربِ ثابتِ واکنش (پارامتری که وزن یا برچسب آن واکنش است) در حاصلضرب کمیتِ تکتکِ مادههای شرکت کننده در سمتِ واکنشدهنده است. مثلا برای واکنش مثال موقتمان، مادههای سمت واکنشدهنده عبارت اند از $2A+3B=A+A+B+B+B$ پس $a\times a\times b\times b\times b=a^2b^3$ پس در کل تغییر $A$ برابر است با
$$\dot{a}=(0-2)\times k\times a^2b^3=-2ka^2b^3$$
که منظور از $\dot{a}$ مشتق $a$ (که تابعی از $t$ است) نسبت به زمان $t$ است. چون ۳ ماده داریم پس دستگاه معادلات دیفرانسیلمان نیز ۳ معادله دارد:
$$\left\lbrace\begin{align}
\dot{a} &= -2ka^2b^3\\
\dot{b} &= -3ka^2b^3\\
\dot{c} &= ka^2b^3
\end{align}\right.$$
اکنون آمادهایم تا به مثال رشد جمعیت شما بپردازیم. مسأله را خیلی ساده میکنیم. فرض میکنیم فقط یک جامعهٔ آماری یعنی مثلا کشور ایران را داریم و کاری به کشورهای دیگر نداریم (یعنی بحث مهاجرت و تأثیر جمعیتهای کشورهای دیگر بر جمعیت کشورمان و برعکسش را از مسأله حذف میکنیم) همچینی فرض میکنیم فقط دو واکنش مرگومیر و زادوولد را داریم و تفاوتی روی انواع مرگها و غیره قائل نمیشویم. پس مدلمان خیلی ساده یک ماده دارد؛ انسانهای ساکن در کشور ایران که با نماد $X$ نمایش میدهیم. تعداد این انسانها یعنی کمیتِ عددیِ مرتبط با $X$ را جمعیت یا با واژگان شما اندازهٔ جمعیت مینامیم و با نماد $x$ نمایش میدهیم و حواسمان هست که این اندازه یا متغیر تابعی از زمان است. گرافِ شبکهمان به شکل زیر میشود.
$$\require{mhchem}
X\ce{< =>[d][b]}0
$$
که $0$ را برخی $\emptyset$ نیز نمایش میدهند و به معنای وجود هیچ مادهایاست (انتخاب عدد ۰ برای نمایش این گره از گراف دلیل ریاضی دارد و سلیقهای نبودهاست). $X\rightarrow 0$ برای مرگ است، یعنی یک $X$ از بین رفتهاست (یا حذف شدهاست) و $0\rightarrow X$ برای زایش است، یعنی یک $X$ بوجودآمدهاست (یا افزودهشدهاست). ثابتهای $b$ و $d$ نیز به ترتیب برای ثابت زایش و ثابت مرگ در نظر گرفتهشدهاند (ابتدای واژههای birth و death). اکنون میزان رشد یعنی همان $\dot{x}$ که با توجه به قانون بقای جرم (در واقع سینتیک بقای جرم) برابر میشود با $\dot{x}=-dx+b$. در واقع نقلِقول نخستی که در متن پرسشتان کردهاید برای شبکهای که تنها واکنش تجزیه یا مرگ (یا هر اسم دیگری وابسته به محیطی که در آن صحبت میکنید) دارد به کار میرود که $k$ را منفی گرفتهاید، در مثال جمعیت، $k=-d$. البته این یک مثال است و ممکن است در موقعیت دیگری شما $k$ مثبت داشتهباشید. آهنگ رشد زمانی به کار میرود که شما توانایی مشاهدهٔ مقدار $x$ را در هر مقداری از $t$ که بخواهید نداشته باشید، برای نمونه شما ممکن است جمعیت کشور را فقط یکبار در سال اندازه گرفتهباشید و امکان اندازهگیریاش را در هر لحظهای نداشتهباشید (مثلا توسط سرشماریها، البته اگر به دادههای ثبت تولد و ثبت فوت دسترسی داشتهباشید و از تأخیرهای زمانی ممکن مثلا در حد چند ثانیه یا چند ساعت و غیره که در این ثبتها ممکن است روی دهد چشمپوشی کنیم، آنگاه دیگر مشکل گسستگی زمانی دادهها را ندارید و میتوانید مقدار $x$ در هر زمانی را بدانید) به هر حال، در چنین شرایطی شما به جای داشتن مشتق، تنها از متوسط تغییر در بازههای با طول معین اطلاع دارید. اینجاست که شما با آهنگ رشد سر و کار دارید. اما چه رشد نسبی چه آهنگ رشد نسبی چیزی خاص و جدید نیستند غیر از تقسم همان رشد و آهنگ رشد به اندازهٔ جمعیت. یعنی رشد نسبی برابر است با $\frac{\dot{x}}{x}$ و آهنگ رشد نسبی برابر است با $\frac{\Delta x}{x}$ (برای اینکه راحتتر در ذهنتان بماند و البته بیربط هم نیست، به یاد فراوانی نسبی در آمار بیفتید). گاهی چیزهای نسبی را به درصد بیان میکنند برای نمونه آهنگ رشد نسبی کشور ایران در بین سالهای ۲۰۱۵ و ۲۰۲۰ بنا به گزارش UN که در جدول سایت ویکیپدیا آمدهاست برابر با $\%1.04$ که تبدیل به درصد بسیار ساده است، از یک نسبتتناسب ساده استفاده میشود، اگر کل جمعیت برابر ۱۰۰ واحد باشد آنگاه $\Delta x$ برابر با چند واحد است؟ یا همان کسر $\frac{\Delta x}{x}$ را در ۱۰۰ ضرب کنید.
در آخر پیشنهاد میکنم در صورت داشتن وقت این پست در بلاگ را در مورد تعبیر مشتق بخوانید چون در مثالهایی مثل موضوع جمعیت در این پست یا در کل شبکههای واکنشی به فراوانی دیده میشود که افراد اشتباه تعبیری یا محاسباتی میکنند که پست اشارهشده به این مطلب میپردازد.
