ایدهٔ این حل دیشب زمان شام به ذهنم رسید. در واقع زمانی که با شائوله این پرسش را مطرح کردم خواست با حل دستگاه چند معادله چند مجهول سینوس و کسینوس زاویهٔ مطلوب را بدست آورد که باعث شد یاد قانون سینوس‌ها و قانون کسینوس‌ها در سه‌گوش‌ها بیفتم. نخست این دو قانون را یادآور می‌شویم.
برای یک سه‌گوش با گوشه‌های A و B و C که اندازهٔ ضلع‌های روبرویشان را با حروف کوچک a و b و c نشان می‌دهیم و اندازهٔ زاویه‌های این گوشه‌ها را با خود حروف بزرگ نمایش داده‌ایم، قانون سینوس‌ها می‌گوید:
\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}
قانون کسینوس‌ها می‌گوید:
\begin{array}{l}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(A)\\
b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(B)\\
c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(C)\end{array}
انتظار می‌رود که نخستین کاری که کرده‌باشید این باشد که فهمیده‌باشید که زاویهٔ
\widehat{AOP} برابر ۱۴۰ درجه است و به دنبال آن زاویهٔ
\widehat{APO} برابر با ۳۰ درجه است. با در نظر گرفتن سه گوش
AOP و یک تغییر نام کوچک مطابق شکل زیر
و استفاده از قانون سینوس‌ها داریم:
\dfrac{\sin 10}{a}=\dfrac{\sin 30}{1}
که سینوس ۳۰ درجه برابر یک دوم است و توجه کنید که
AO و
OC شعاع‌هایی از دایره هستند و برای همین می‌دانیم که اندازه‌شان یک است. در نتیجه داریم
a=2\sin 10. اینک سه‌گوش
OPC را در نظر بگیرید و تغییر نام آن را مطابق شکل زیر انجام دهید.
دوباره از قانون سینوس‌ها داریم:
\dfrac{\sin(C')}{1}=\dfrac{\sin 10}{2\sin 10}
در نتیجه سینوس زاویهٔ
OPC برابر می‌شود با یک‌دوم. چون
OPC زاویه‌ای باز است پس برابر با
180-30=150 درجه است. اکنون زاویهٔ
COP برابر با
180-(10+150)=20 است. پس کمان
CD برابر می‌شود با
\dfrac{20}{360}\times (2\pi)\times 1 یعنی
\dfrac{\pi}{9}.
