ایدهٔ این حل دیشب زمان شام به ذهنم رسید. در واقع زمانی که با شائوله این پرسش را مطرح کردم خواست با حل دستگاه چند معادله چند مجهول سینوس و کسینوس زاویهٔ مطلوب را بدست آورد که باعث شد یاد قانون سینوسها و قانون کسینوسها در سهگوشها بیفتم. نخست این دو قانون را یادآور میشویم.
برای یک سهگوش با گوشههای $A$ و $B$ و $C$ که اندازهٔ ضلعهای روبرویشان را با حروف کوچک $a$ و $b$ و $c$ نشان میدهیم و اندازهٔ زاویههای این گوشهها را با خود حروف بزرگ نمایش دادهایم، قانون سینوسها میگوید:
$$\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}$$
قانون کسینوسها میگوید:
$$\begin{array}{l}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(A)\\
b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(B)\\
c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(C)\end{array}$$
انتظار میرود که نخستین کاری که کردهباشید این باشد که فهمیدهباشید که زاویهٔ $\widehat{AOP}$ برابر ۱۴۰ درجه است و به دنبال آن زاویهٔ $\widehat{APO}$ برابر با ۳۰ درجه است. با در نظر گرفتن سه گوش $AOP$ و یک تغییر نام کوچک مطابق شکل زیر
و استفاده از قانون سینوسها داریم:
$$\dfrac{\sin 10}{a}=\dfrac{\sin 30}{1}$$
که سینوس ۳۰ درجه برابر یک دوم است و توجه کنید که $AO$ و $OC$ شعاعهایی از دایره هستند و برای همین میدانیم که اندازهشان یک است. در نتیجه داریم $a=2\sin 10$. اینک سهگوش $OPC$ را در نظر بگیرید و تغییر نام آن را مطابق شکل زیر انجام دهید.
دوباره از قانون سینوسها داریم:
$$\dfrac{\sin(C')}{1}=\dfrac{\sin 10}{2\sin 10}$$
در نتیجه سینوس زاویهٔ $OPC$ برابر میشود با یکدوم. چون $OPC$ زاویهای باز است پس برابر با $180-30=150$ درجه است. اکنون زاویهٔ $COP$ برابر با $180-(10+150)=20$ است. پس کمان $CD$ برابر میشود با $\dfrac{20}{360}\times (2\pi)\times 1$ یعنی $\dfrac{\pi}{9}$.
