قرار دهید $x=2t$ داریم $x^3-3x+1=0$
با مقایسه کردن جملات بالا با جملات $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ چنانچه بتوانیم $u,v$ ی پیدا کنیم که $x=u+v$ در اینصورت
$$\begin{cases}-3uv=-3\implies u^3v^3=1\\ u^3+v^3=-1\end{cases}$$
اما $u^3,v^3$ ریشه های معادله درجه دوم $y^2-(u^3+v^3)y+u^3v^3=0$ یعنی $y^2+y+1=0$ هستند که با حل آن داریم:
$$u^3=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3=e^{\frac{2\pi}3i}$$
بنابراین
$$u=e^{\frac{2\pi}9i},e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$
و چون $uv=1$ پس
$$v=\frac 1u=e^{\frac{-2\pi}9i},e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$
بنابراین
$$x=u+v=e^{\frac{2\pi}9i}+e^{\frac{-2\pi}9i}=2\cos \frac{2\pi}9$$
و
$$ x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3) $$
و
$$x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$
ریشه های معادله ی $x^3-3x+1=0$ هستند و چون $x=2t$ پس کافی است ریشه های به دست آمده را بر $2$ تقسیم کنید تا ریشه های معادله خواسته شما به دست آیند یعنی:
$$t=\cos \frac{2\pi}9, \cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3), \cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$
