به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
274 بازدید
در دبیرستان توسط hvl145 (39 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

لطفا معادله زیر را حل کنید: $$8t^3-6t+1=0$$

توسط fardina (17,407 امتیاز)
لطفا عنوان مناسب بنویسید. ممکنه سوالات زیادی در مرد حل معادله باشه و مطمینا خوب نیست همه بنویسن معادله زیر را حل کنید. تایپ ریاضی رو هم یاد بگیرید در قسمت راهنمای تایپ. و برچسب مناسب انتخاب کنید. نمیدونم این سوال چه ربطی به ریاضیات گسسته داشت که به عنوان برچسب انتخاب کرده بودید. ممنون.
توسط hvl145 (39 امتیاز)
چشم خیلی ممنون برای توضیحاتتون
توسط hvl145 (39 امتیاز)
خیلی ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (17,407 امتیاز)

قرار دهید $x=2t$ داریم $x^3-3x+1=0$

با مقایسه کردن جملات بالا با جملات $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ چنانچه بتوانیم $u,v$ ی پیدا کنیم که $x=u+v$ در اینصورت $$\begin{cases}-3uv=-3\implies u^3v^3=1\\ u^3+v^3=-1\end{cases}$$

اما $u^3,v^3$ ریشه های معادله درجه دوم $y^2-(u^3+v^3)y+u^3v^3=0$ یعنی $y^2+y+1=0$ هستند که با حل آن داریم: $$u^3=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3=e^{\frac{2\pi}3i}$$

بنابراین $$u=e^{\frac{2\pi}9i},e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ و چون $uv=1$ پس $$v=\frac 1u=e^{\frac{-2\pi}9i},e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ بنابراین $$x=u+v=e^{\frac{2\pi}9i}+e^{\frac{-2\pi}9i}=2\cos \frac{2\pi}9$$ و $$ x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3) $$ و $$x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$ ریشه های معادله ی $x^3-3x+1=0$ هستند و چون $x=2t$ پس کافی است ریشه های به دست آمده را بر $2$ تقسیم کنید تا ریشه های معادله خواسته شما به دست آیند یعنی: $$t=\cos \frac{2\pi}9, \cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3), \cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$

توسط fardina (17,407 امتیاز)
البته این روش به رو کاردانو معروف بوده و میتونید در موردش در اینجا مطالعه کنید: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Cardano.27s_method
توسط hvl145 (39 امتیاز)
خیلی ممنون

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...