معادله $8t^3-6t+1=0$ را حل کنید.

Question

لطفا معادله زیر را حل کنید: $$8t^3-6t+1=0$$

Comments

لطفا عنوان مناسب بنویسید. ممکنه سوالات زیادی در مرد حل معادله باشه و مطمینا خوب نیست همه بنویسن معادله زیر را حل کنید. تایپ ریاضی رو هم یاد بگیرید در قسمت راهنمای تایپ. و برچسب مناسب انتخاب کنید. نمیدونم این سوال چه ربطی به ریاضیات گسسته داشت که به عنوان برچسب انتخاب کرده بودید. ممنون.

---

چشم خیلی ممنون برای توضیحاتتون

---

دراینجا http://alidownload.blogfa.com/tag/%D8%AD%D9%84-%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87-%DB%8C-%D8%AF%D8%B1%D8%AC%D9%87-3-%D8%A8%D8%A7-%D8%B1%D8%A7%D9%87-%D8%AD%D9%84-%DA%A9%D8%A7%D9%85%D9%84%D8%A7-%D8%AF%D9%82%DB%8C%D9%82
مطالعه کنید

---

خیلی ممنون

Answer 1

قرار دهید $x=2t$ داریم $x^3-3x+1=0$

با مقایسه کردن جملات بالا با جملات $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ چنانچه بتوانیم $u,v$ ی پیدا کنیم که $x=u+v$ در اینصورت $$\begin{cases}-3uv=-3\implies u^3v^3=1\\ u^3+v^3=-1\end{cases}$$

اما $u^3,v^3$ ریشه های معادله درجه دوم $y^2-(u^3+v^3)y+u^3v^3=0$ یعنی $y^2+y+1=0$ هستند که با حل آن داریم: $$u^3=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3=e^{\frac{2\pi}3i}$$

بنابراین $$u=e^{\frac{2\pi}9i},e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ و چون $uv=1$ پس $$v=\frac 1u=e^{\frac{-2\pi}9i},e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ بنابراین $$x=u+v=e^{\frac{2\pi}9i}+e^{\frac{-2\pi}9i}=2\cos \frac{2\pi}9$$ و $$ x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3) $$ و $$x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$ ریشه های معادله ی $x^3-3x+1=0$ هستند و چون $x=2t$ پس کافی است ریشه های به دست آمده را بر $2$ تقسیم کنید تا ریشه های معادله خواسته شما به دست آیند یعنی: $$t=\cos \frac{2\pi}9, \cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3), \cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$

Comments

البته این روش به رو کاردانو معروف بوده و میتونید در موردش در اینجا مطالعه کنید: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Cardano.27s_method

---

خیلی ممنون