به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
134 بازدید
در دبیرستان توسط hvl145
ویرایش شده توسط fardina

لطفا معادله زیر را حل کنید: $$8t^3-6t+1=0$$

توسط fardina
لطفا عنوان مناسب بنویسید. ممکنه سوالات زیادی در مرد حل معادله باشه و مطمینا خوب نیست همه بنویسن معادله زیر را حل کنید. تایپ ریاضی رو هم یاد بگیرید در قسمت راهنمای تایپ. و برچسب مناسب انتخاب کنید. نمیدونم این سوال چه ربطی به ریاضیات گسسته داشت که به عنوان برچسب انتخاب کرده بودید. ممنون.
توسط hvl145
چشم خیلی ممنون برای توضیحاتتون
توسط hvl145
خیلی ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

قرار دهید $x=2t$ داریم $x^3-3x+1=0$

با مقایسه کردن جملات بالا با جملات $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$ چنانچه بتوانیم $u,v$ ی پیدا کنیم که $x=u+v$ در اینصورت $$\begin{cases}-3uv=-3\implies u^3v^3=1\\ u^3+v^3=-1\end{cases}$$

اما $u^3,v^3$ ریشه های معادله درجه دوم $y^2-(u^3+v^3)y+u^3v^3=0$ یعنی $y^2+y+1=0$ هستند که با حل آن داریم: $$u^3=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}=\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3=e^{\frac{2\pi}3i}$$

بنابراین $$u=e^{\frac{2\pi}9i},e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ و چون $uv=1$ پس $$v=\frac 1u=e^{\frac{-2\pi}9i},e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}, e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}$$ بنابراین $$x=u+v=e^{\frac{2\pi}9i}+e^{\frac{-2\pi}9i}=2\cos \frac{2\pi}9$$ و $$ x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3) $$ و $$x=u+v=e^{i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}+e^{-i(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3)}=2\cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$ ریشه های معادله ی $x^3-3x+1=0$ هستند و چون $x=2t$ پس کافی است ریشه های به دست آمده را بر $2$ تقسیم کنید تا ریشه های معادله خواسته شما به دست آیند یعنی: $$t=\cos \frac{2\pi}9, \cos(\frac{2\pi}9+\frac {2\pi}3), \cos(\frac{2\pi}9+\frac {4\pi}3))$$

توسط fardina
البته این روش به رو کاردانو معروف بوده و میتونید در موردش در اینجا مطالعه کنید: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Cardano.27s_method
توسط hvl145
خیلی ممنون

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...