حاصلضرب $\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}$ها برای $n$ از ۲ تا ۴۸ چند می شود؟

Question

پرسش ۴۴ کتاب کمک‌آموزشیِ مبتکران (درس و مقطع و نویسند و سال چاپ ؟؟) حاصل زیر را می‌خواهد. چگونه باید آن را محاسبه کنم؟ پاسخ آخر باید ۲۵ شود.

$$\prod_{n=2}^{48}\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}$$

---

متن پیش از ویرایش: لطفا هرکی میتونه سوال 44 برام توضیح بده که چجوری حل میشه؟ جواب آخر باید 25 شود

عنوان: کسر های پیچیده

مرجع: کمک آموزشی مبتکران

Comments

@Negin متن و عنوان پرسش‌تان را پیش و پس از ویرایش مقایسه کنید. بعلاوه متن پرسش را تایپ کنید، با مرجع‌دهی‌ای هم که کرده بودید و اصلا نشان نمی‌دهد چه کتابی مدنظرتان بوده‌است، تنها از روی پاسخ‌های گذاشته‌شده در این صفحه می‌شد حدس زد که پرسش چه بوده‌است!

Answer 1

$ \prod_2^b \frac{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} }{ \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} }= \prod_2^b \frac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)}= \frac{49*50}{2*3} $

که b=48

Answer 2

ابتدا توجه کنید که $$\frac{\frac 1n-\frac 1{n+1}}{\frac 1{n+1}-\frac 1{n+2}}=\frac{\frac 1{n(n+1)}}{\frac 1{(n+1)(n+2)}}=\frac {n+2}n$$

پس کافی است حاصلضرب کسر های به صورت $\frac {n+2}n$ را از $n=2$ تا $n=48$ بیابیم که به صورت $\prod_2^{48}\frac{n+2}{n}$ نمایش می دهند: $$\require{cancel}\frac {\cancel 4}2\times \frac {\cancel 5}3\times \frac {\cancel 6}{\cancel 4}\times \cdots \times \frac {\cancel{48}}{\cancel{46}}\times \frac{49}{\cancel{47}}\times \frac{50}{\cancel{48}}=\frac{49\times 50}{2\times 3}=\frac {1225}3$$