Question

دامنه و برد تابع $y=x- \sqrt{x} $ را بیابید.

Comments

دامنه یعنی مقادیری که $x$ می تواند اختیار کند. به نظرتون $x$ چه مقادیری نمیتونه داشته باشه؟

Answer 1

با تغییر زیر به مقادیر این عبارت فکر کنید در حالی که $( \sqrt{x}- \frac{1}{2})^{2} \geq 0$

$ x-\sqrt{x}= ( \sqrt{x}- \frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4} $

Answer 2

برای برد با توجه به اینکه تابع پیوسته هست میتونید به کمک مشتق گیری نقاط ماکزیمم مینیمم رو پیدا کنید. در واقع با توجه به اینکه دامنه تابع $x\geq 0$ است و $y'=1-\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{2\sqrt x-1}{2\sqrt x}$ و تعیین علامت مشتق خواهید دید که $x=\frac 14$ نقطه مینیمم مطلق تابع است و از صفر تا $\frac 14$ نزولی و از $\frac 14$ تا بی نهایت صعودی است. مقدار تابع در $x=\frac 14$ برابر $-\frac 14$ و $\lim_{x\to \infty}x-\sqrt x=\infty$ بنابراین برد برابر است با $[-\frac 14, \infty)$

Answer 3

قرار دهید $t=\sqrt x$ در اینصورت از $x-\sqrt x-y=0$ داریم $t^2-t-y=0$ با حل معادله درجه دوم به روش دلتا داریم $$t=\frac{1\pm \sqrt{1+4y}}{2}$$

$$x=\left(\frac{1\pm \sqrt{1+4y}}{2}\right)^2$$

زیر رادیکال باید مثبت باشد یعنی $1+4y\geq 0$ یعنی $y\geq -\frac 14$