جوابی که بدست آوردم با جواب خود کتاب متفاوته اما نزدیک به اونه . متوجه نمیشم کجا اشتباه کردم . جوابو گذاشتم تا شاید شما اشتباهمو متوجه بشید .
میخواهیم مجموع همه این تفاضل هارا حساب کنیم پس 2 جایگاه کنار هم و اعداد 1 تا m را در نظر بگیرید . تعداد حالت هایی که قدر مطلق تفاضل 2 عدد داخل این 2 جایگاه برابر a میشود برابر با 2a(m-a) میباشد . پس حاصل مورد نظر برابر است با \sum_1^{m-1} 2a(m-a) ضرب در تعداد این جایگاه های 2 تایی که برابر است با nm-1 ضرب در تعداد حالات چینش nm-2 عدد باقی مانده در باقی جایگاه ها که برابر است با \frac{(nm-2)!}{(m!)^{n-2}.((m-1)!)^2} تعداد کل حالات نیز برابر \frac{(nm)!}{(m!)^n} میباشد که باید حاصل ضرب بالا را بر آن تقسیم کنیم .
\sum_1^{m-1} 2a(m-a) =2(m(1+2+...+(m-1))-(1^2+2^2+...+(m-1)^2)
=m^2(m-1)- \frac{m(m-1)(2m-1)}{3} = \frac{m(m^2-1)}{3}
.
(nm-1) . \frac{(nm-2)!}{(m!)^{n-2}.((m-1)!)^2} . \frac{(m!)^n}{(nm)!} = \frac{m}{n}
و در آخر :
\frac{m(m^2-1)}{3} . \frac{m}{n} = \frac{m^2(m^2-1)}{3n}
ولی جواب داخل کتاب برابر \frac{n(m^2-1)}{3}
است . البته شایدم کتاب اشتباه نوشته چون اگه در آخر به جای
\frac{m}{n} کسر
\frac{n}{m} رو قرار بدیم پاسخ کتاب بدست می آید .