به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
0 امتیاز
595 بازدید
در دبیرستان توسط Taha1381 (1,789 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

مجموعه ی Z(m,n)شامل همه ی اعداد صحیح mn رقمی شامل n رقم ۱,n رقم ۲,...,n رقم m است.برای هر عضو z(m,n) مجموع قدر مطلق تفاضل ارقام مجاورش را حساب کرده ایم. میانگین این اعداد چقدر است؟

مرجع: انالیز ترکیبی(عباس ثروتی)-فصل ۳-سوال۱۵

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط A Math L (2,400 امتیاز)

جوابی که بدست آوردم با جواب خود کتاب متفاوته اما نزدیک به اونه . متوجه نمیشم کجا اشتباه کردم . جوابو گذاشتم تا شاید شما اشتباهمو متوجه بشید .

میخواهیم مجموع همه این تفاضل هارا حساب کنیم پس 2 جایگاه کنار هم و اعداد 1 تا m را در نظر بگیرید . تعداد حالت هایی که قدر مطلق تفاضل 2 عدد داخل این 2 جایگاه برابر a میشود برابر با 2a(m-a) میباشد . پس حاصل مورد نظر برابر است با \sum_1^{m-1} 2a(m-a) ضرب در تعداد این جایگاه های 2 تایی که برابر است با nm-1 ضرب در تعداد حالات چینش nm-2 عدد باقی مانده در باقی جایگاه ها که برابر است با \frac{(nm-2)!}{(m!)^{n-2}.((m-1)!)^2} تعداد کل حالات نیز برابر \frac{(nm)!}{(m!)^n} میباشد که باید حاصل ضرب بالا را بر آن تقسیم کنیم .

\sum_1^{m-1} 2a(m-a) =2(m(1+2+...+(m-1))-(1^2+2^2+...+(m-1)^2)

=m^2(m-1)- \frac{m(m-1)(2m-1)}{3} = \frac{m(m^2-1)}{3}

.

(nm-1) . \frac{(nm-2)!}{(m!)^{n-2}.((m-1)!)^2} . \frac{(m!)^n}{(nm)!} = \frac{m}{n}

و در آخر :

\frac{m(m^2-1)}{3} . \frac{m}{n} = \frac{m^2(m^2-1)}{3n}

ولی جواب داخل کتاب برابر \frac{n(m^2-1)}{3}

است . البته شایدم کتاب اشتباه نوشته چون اگه در آخر به جای \frac{m}{n} کسر \frac{n}{m} رو قرار بدیم پاسخ کتاب بدست می آید .

...