جوابی که بدست آوردم با جواب خود کتاب متفاوته اما نزدیک به اونه . متوجه نمیشم کجا اشتباه کردم . جوابو گذاشتم تا شاید شما اشتباهمو متوجه بشید .
میخواهیم مجموع همه این تفاضل هارا حساب کنیم پس 2 جایگاه کنار هم و اعداد 1 تا $m$ را در نظر بگیرید . تعداد حالت هایی که قدر مطلق تفاضل 2 عدد داخل این 2 جایگاه برابر $a$ میشود برابر با $2a(m-a)$ میباشد . پس حاصل مورد نظر برابر است با $ \sum_1^{m-1} 2a(m-a) $ ضرب در تعداد این جایگاه های 2 تایی که برابر است با $nm-1$ ضرب در تعداد حالات چینش $nm-2$ عدد باقی مانده در باقی جایگاه ها که برابر است با $ \frac{(nm-2)!}{(m!)^{n-2}.((m-1)!)^2} $ تعداد کل حالات نیز برابر $ \frac{(nm)!}{(m!)^n} $ میباشد که باید حاصل ضرب بالا را بر آن تقسیم کنیم .
$$ \sum_1^{m-1} 2a(m-a) =2(m(1+2+...+(m-1))-(1^2+2^2+...+(m-1)^2)$$
$$=m^2(m-1)- \frac{m(m-1)(2m-1)}{3} = \frac{m(m^2-1)}{3} $$
.
$$(nm-1) . \frac{(nm-2)!}{(m!)^{n-2}.((m-1)!)^2} . \frac{(m!)^n}{(nm)!} = \frac{m}{n} $$
و در آخر :
$$ \frac{m(m^2-1)}{3} . \frac{m}{n} = \frac{m^2(m^2-1)}{3n} $$
ولی جواب داخل کتاب برابر $$ \frac{n(m^2-1)}{3} $$ است . البته شایدم کتاب اشتباه نوشته چون اگه در آخر به جای $\frac{m}{n}$ کسر $\frac{n}{m}$ رو قرار بدیم پاسخ کتاب بدست می آید .
