اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه های معادلهٔ $y=x^2−(m+2)x+5$ باشند، حدود $m$ را بیابید تا $\alpha< -2<\beta$ برقرار شود.

Question

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادلهٔ $y= x^{2}-(m+2)x+5 $ باشند، حدود $m$ را به گونه‌ای بیابید تا $ \alpha < -2 < \beta $ برقرار باشد.

Answer 1

اولاً چون دو ریشه متمایز هستند پس باید داشته‌باشیم $\Delta>0$. درنتیجه

$$m<-2-\sqrt{20}\vee m>-2+\sqrt{20}$$

که علامتِ $\vee$ یعنی «یا».

با توجه به ضریب‌های معادله، ریشه‌ها هم علامتند. پس با توجه به $ \alpha < -2$، باید $\beta$ هم منفی و در نتیجه جمع آن دو نیز منفی، پس فقط قسمت اول یعنی $ m < -2- \sqrt{20} $ می‌تواند برقرار باشد.

اما $ \beta = \frac{m+2+ \sqrt{ (m+2)^{2}-20 } }{2} > -2 $ که باشد خواهیم داشت $m < -6.5$.

https://www.geogebra.org/m/BqWRkTDN

Comments

good4us@ من قسمت دوم را نمی فهمم .لطفا توضیح بده.

---

5=c/a مثبت است پس ریشه هاهم علامتندوقتی آلفامنفی است پس بتا هم منفی است و مجموع ریشه ها نیز منفی است درنتیجه m+2<0