به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
103 بازدید
در دبیرستان توسط Taha1381 (1,774 امتیاز)

۲۰ مهره داریم در هر مرحله ان را به دو دسته ناتهی تقسیم می کنیم و حاصلضرب تعداد مهره های دو دسته را می نویسیم و سپس این عمل را برای هر دسته که بیش از یک مهره دارد انجام می دهیم تا همه ی دسته ها تکی شوند ثابت کنید مجموع اعداد نوشته شده روی تخته در هر حالت یکسان است.ایا می توانید مجموع اعداد نوشته شده روی تخته را بیابید؟

مرجع: انالیز ترکیبی(عباس ثروتی)-فصل ۷-سوال۳۶

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط A Math L (2,380 امتیاز)
ویرایش شده توسط A Math L
 
بهترین پاسخ

فرض میکنیم که به پایان کار رسیده ایم . در این صورت 20 دسته خواهیم داشت که هر یک شامل 1 مهره خواهند بود . برای بازگشت به عقب کافی است 2 دسته را حذف کنیم و مجموعه آن دو را در دسته ای جدید قرار دهیم و عددی که از حاصل ضرب آن دو بدست می آید از مجموع اعداد تخته کم میکنیم . این عمل را گروه کردن می نامیم .

حال ثابت میکنیم ترتیب گروه کردن اعداد اهمیت ندارد و اگر بازگشت با ترتیب متفاوتی باشد باز هم در آخر مجموع اعداد در تخته برابر صفر خواهد شد .

حال سه دسته که هر یک شامل $a$ ، $b$ و $c$ مهره هستند را در نظر بگیرید اگر اول $a$ و $b$ گروه شوند سپس با $c$ :

$ab+(a+b)c =ab+ac+bc$ را باید از تخته حذف کرد به راحتی میتوان فهمید باقی حالات نیز برابر همین عدد خواهد شد . پس ترتیب اهمیت ندارد .(مثلا اگر $n$ دسته شامل $ x_{1} , x_{2} , x_{3} .. x_{n} $ داشته باشیم بعد از گروه کردن همه آنها عددی که از تخته حذف خواهد شد برابر با $ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} ...+ x_{n-1} x_{n} $ خواهد بود)

برای بازگشت اولین کار قطعا گروه کردن 2 یک خواهد بود که عدد دسته دوتایی بدست می آید . حال به جای اینکه دسته ای شامل $x$ مهره را با آن دسته دوتایی گروه کنیم میتوانیم اول آن را به $x$ دسته که هر یک شامل یک مهره اند تقسیم کنیم و سپس دسته های یکتایی را با 2 گروه کنیم . (به جای اینکه اول یک ها گروه شوند سپس با 2 گروه شوند اول با 2 گروه میشوند ) .

حال 2 را با هر دسته یکتایی گروه میکینم . چون وقتی دسته $y$ تایی را با دسته شامل یک مهره گروه کنیم باید عدد $y$ را از تخته حذف کنیم پس باید عدد $1+2+3+4+...+19$ را از تخته حذف کنیم تا به صفر برسیم پس حاصل جمع اعداد روی تخته همیشه برابر است با : $ 10*19$

توسط Taha1381 (1,774 امتیاز)
یه جوری نمیشه به طور مستقیم به ترکیب ۲ از ۲۰ رسید؟
توسط A Math L (2,380 امتیاز)
جایی که بالا نوشتم :مثلا اگر $n$ دسته شامل ...

اگر اینجا به جای $n$ عدد بیست رو بذاریم و بجای $ x_{i} $ ها عدد یک تعداد جملات $   x_{1}  x_{2} + x_{1}  x_{3} +... x_{19}  x_{20}  $ همان جواب است که برابر تعداد راه های انتخاب دو $ x_{i} $ در بین بیست $ x_{i} $ میباشد .

البته من عدد 20 رو بالا اضافه گذاشته بودم که الان درستش کردم .

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...