شما گفتهاید میدانید که $8!$ حالت برای قرار دادن رخها در صفحهشطرنجتان به گونهای که یکدیگر را تحدید نکنند وجود دارد. چون گفتهاید میدانید پس فرض میکنم که روش و دلیل بدستآمدن این عدد را میدانید یعنی اینکه باید در هر سطر و هر ستون فقط یک رخ واقع باشد.
اکنون شمارهٔ یک خانه چگونه بدست میآید؟ یک خانه واقع در سطر $i$اُم و ستون $j$اُم برابر است با $8i+j$. فرض کنید مکانِ رُخِ $n$اُم برابر باشد با $(i_n,j_n)$ آنگاه جمع عددِ مکانهای هشت رخ برابر است با
$$\sum_{n=1}^8(8i_n+j_n)$$
اما این برابر است با
$$8(\sum_{n=1}^8i_n)+(\sum_{n=1}^8j_n)$$
ولی مگر قرار نیست در هر سطر (هر ستون) دقیقا یک و تنها یک رخ داشتهباشیم؟ پس مجموعهٔ
$$\lbrace i_1,i_2,\dots,i_8\rbrace$$
دقیقا برابر با مجموعهٔ $\lbrace 1,2,\dots,8\rbrace$ است فقط یک تغییر ترتیب داشتهاست. همینطور برای ستونها. پس جمعمان برابر است با
$$8(\sum_{n=1}^8n)+(\sum_{n=1}^8n)=9(\sum_{n=1}^8n)=9\times\frac{9\times 8}{2}=324$$
چون شرط جدیدی روی مکان رخها در این محاسبه نیافزودهایم، این محاسبه برای هر $8!$ وضعیت صادق است.
