Question

در صورتی که اعداد طبیعی $1$ تا $222222222$ به دنبال هم نوشته شوند، چند صفر نوشته ایم؟

Comments

روشی جالبیه فقط در محاسبه اعداد بین 100000000 تا 222222222 رقم اول از سمت چپ فقط دو حالت دارد :


1)اگر رقم اول از سمت چپ 1 باشد، 8 رقم باقیمانده می توانند هر کدام 10 حالت داشته باشند که طبق فرمول ذکر شده
$$1 \times 8 \times  10^{7}=80000000$$ صفر وجود دارد.

2) اگر اولین رقم سمت چپ 2 باشد،
 8 رقم باقیمانده فقط سه حالت (0 ، 1 ، 2) می توانند داشته باشد. طبق رابطه ذکر شده، $$1  \times 8 \times  3^{7}=17496$$
 صفر وجود دارد.
 
در کل بین این اعداد $$17496+80000000=80017496$$ صفر وجود دارد.

Answer 1

سلام یک روش جالبتر برای جواب سوال فرض تعداد صفرهای اعداد $8$ رقمی رو بخواهیم اولین عدد سمت چپ یکی از اعداد $1$ تا $9$ است فعلا فرض $1$ باشد تو $7$ رقم باقیمانده تعداد صفرهای بکار رفته در تمام حالات با تعداد $1$ ها با تعداد $2$ ها و.... برابر است لذا کافیه تعداد ارقام بکار رفته رو حساب کنیم و بر $10$ تقسیم کنیم( $0$ و $1$ و $2$ و ..و $9$ میشه $10$ حالت) و تعداد صفرها بدست می آید که با ضرب در تعداد حالات رقم اول سمت چپ که نه بود جواب بدست می آید. تو $7$ رقم باقیمانده برای هر رقم $10$ حالت داریم لذا در کل $10^{7}$ عدد مختلف $7$ رقمی میتوانیم بسازیک که هر عدد از $7$ رقم تشکیل شده لذا در کل $7 \times 10^{7}$ رقم بکار رفته با تقسیم بر $10$ و ضرب در $9$ تعداد صفرها برابر است با

$9 \times 7 \times 10^{6}$

بطور مشابه تعداد صفرهای تمام اعداد $n$ رقمی برابر است با

$9 \times (n-1) \times 10^{n-2}$

لذا تعداد صفرهای اعداد $1$ تا $8$ رقمی ها برابر

$$\begin{align} &1+9(1+ 2 \times 10+3 \times 10^{2}+4 \times 10^{3}\\ &\ \ \ \ \ +5 \times 10^{4}+6 \times 10^{5}+7 \times 10^{6} )\\ &=1+9(7654320)\\ &= 68888889 \end{align}$$

است اما تعداد صفرهای از $100000000$ تا $2222222222$ (با همون روش بالا و اینکه اولین عدد سمت چپ فقط $2$ حالت دارد(بجای $9$ حالت) بدست می آید) برابر $106419752$ است لذا درکل

$175308641$

صفر داریم

Answer 2

اعداد را برحسب دو رقمی ، سه رقمی و .... و هشت رقمی و اعداد $9$ رقمی از $100000000$ تا $222222222$ دسته بندی میکنیم. برای اعداد $2$ رقمی جایگشتی دو تایی در نظر بگیرید، رقم اول میتواند $9$ حالت اختیار کند ولی رقم دوم باید $0$ باشد لذا $9$ حالت داریم.

برای اعداد $3$ رقمی جایگشتی سه تایی در نظر میگیریم:

1. جایگشت اول $9$ حالت دارد و دو جایگشت دیگر حتما $0$ باشند.

2. یکی از دو جایگشت رقم $0$ باشد پس جایگشت دیگر نیز $9$ حالت دارد

لذا داریم: $9 + 9 \times 9 \times {3\choose 2}$.

برای اعداد $4$ رقمی نیز جایگشتی $4$ تایی در نظر میگیریم:

1. رقم اول $9$ حالت دارد و بقیه جایشگتها $0$ باشد.
2. دو تا از سه جایگشت $0$ باشند.

3. یکی از سه جایگشت $0$ باشد.

   داریم $9 + 9^{2} \times {3\choose 2} + 9^{3} \times {3\choose 1}$

به همین منوال تا اعداد $8$ رقمی پیش می رویم.

اما برای اعداد $9$ رقمی محدودیت داریم. دقیقا به روش فوق پیش می رویم با این تفاوت که بجای $9$ ، $2$ قرار می دهیم در نهایت با محاسبه، تعداد $0$ برابر است با $51585049$ .

Comments

روش درستیه اما تعداد صفرهارو نمیشماره بلکه تعداد اعدادی که صفردارند رو می شماره مثلا همون اعداد سه رقمی که حساب کردیم اون 9 حالت(دو رقم حتما صفر دارند) باید 18 بنویسید(9 عدد که دو رقمشون صفره لذا 18 صفر دارند)

---

بله حق با شماست. به این نکته توجه نکردم. راه حلتون هم جالبه. ولی من این جمله "تعداد صفرهای بکار رفته در تمام حالات با تعداد 1 ها با تعداد 2 ها و.... برابر است" رو نفهمیدم میشه بیشتر توضیح بدین؟؟

---

مثلا تمام اعداد 3 رقمی رو در نظر بگیرید رقم صدگان همه رو حذف کنید تو تمام اعداد باقیمانده به هر تعدادی 0 بکار رفته باشه به همون اندازه 1 داریم چون برای بدست آوردن تمام این اعداد ما جایگشت(متقارن) اعداد 0 تا9 رو حساب میکنیم که هیچ عددی بر دیگری برتری نداره و به یک اندازه استفاده می شوند.