مساله را برای $n$ مهره حل میکنمیم.اگر تعداد حالات را برای $n$ مهره با $X(n)$ نشان دهیم داریم:
$X(2)=X(3)=0$
زیرا اگر تعداد حالات $2$ و $3$ را بنویسد:
$12,21$
$123,132,213,231,312,312$
می بینیم که در هر حالت همیشه دو عدد پشت سرهم کنار هم اند.حالا اگر به ردیف اخیر $4$ را اضافه کنیم حالات ممکن $2413$ و $3142$ است یعنی $X(4)=2$.
حالا اگر $n$ مهرۀ را با شرایط مساله چیده باشیم و بخواهیم مهرۀ شماره $n+1$ را قرار دهیم و $a_1a_2...a_n$ یک حالت خاص باشد، مهرۀ $n+1$ در لابه لای $a_i$ ها و سمت چپ $a_1$ و سمت راست $a_n$ می تواند قرارگیر بجز اطراف مهرۀ $n$.پس تعداد مکانها شد $n-1+2-2=n-1$ بنابر این برای هر $n \geq 5$ داریم:
$X(n+1)=(n-1)X(n) \Rightarrow X(n)=(n-2)X(n-1)$
$X(n)=(n-2)(n-3)...(n-(n-3))X(n-(n-4))$
$ \Rightarrow X(n)=(n-2)(n-3)...3X(4) \Rightarrow X(n)=(n-2)(n-3)...3 \times 2=(n-2)!$
$ \Rightarrow X(6)=(6-2)!=4!=4 \times 3 \times 2 \times 1=24$
$ \Box $
