Question

در صورتی که اعداد طبیعی $ 1 $ تا $222222222 $ به دنبال هم نوشته شوند، چند صفر نوشته ایم؟

Comments

روشی جالبیه فقط در محاسبه اعداد بین 100000000 تا 222222222 رقم اول از سمت چپ فقط دو حالت دارد :


1)اگر رقم اول از سمت چپ 1 باشد، 8 رقم باقیمانده می توانند هر کدام 10 حالت داشته باشند که طبق فرمول ذکر شده
$$
1 \times 8 \times  10^{7}=80000000$$ صفر وجود دارد.

2) اگر اولین رقم سمت چپ 2 باشد،
 8 رقم باقیمانده فقط سه حالت (0 ، 1 ، 2) می توانند داشته باشد. طبق رابطه ذکر شده، $$
1  \times 8 \times  3^{7}=17496$$
 صفر وجود دارد.
 
در کل بین این اعداد $$
17496+80000000=80017496$$ صفر وجود دارد.

Answer 1

سلام یک روش جالبتر برای جواب سوال فرض تعداد صفرهای اعداد $ 8 $ رقمی رو بخواهیم اولین عدد سمت چپ یکی از اعداد $1 $ تا $9 $ است فعلا فرض $ 1$ باشد تو $ 7 $ رقم باقیمانده تعداد صفرهای بکار رفته در تمام حالات با تعداد $ 1 $ ها با تعداد $ 2$ ها و.... برابر است لذا کافیه تعداد ارقام بکار رفته رو حساب کنیم و بر $10 $ تقسیم کنیم( $0 $ و $1 $ و $ 2 $ و ..و $ 9 $ میشه $ 10$ حالت) و تعداد صفرها بدست می آید که با ضرب در تعداد حالات رقم اول سمت چپ که نه بود جواب بدست می آید. تو $ 7 $ رقم باقیمانده برای هر رقم $ 10 $ حالت داریم لذا در کل $ 10^{7} $ عدد مختلف $ 7 $ رقمی میتوانیم بسازیک که هر عدد از $ 7 $ رقم تشکیل شده لذا در کل $ 7 \times 10^{7} $ رقم بکار رفته با تقسیم بر $10 $ و ضرب در $9 $ تعداد صفرها برابر است با

$ 9 \times 7 \times 10^{6}$

بطور مشابه تعداد صفرهای تمام اعداد $ n $ رقمی برابر است با

$ 9 \times (n-1) \times 10^{n-2}$

لذا تعداد صفرهای اعداد $ 1 $ تا $ 8$ رقمی ها برابر

$$ \begin{align} &1+9(1+ 2 \times 10+3 \times 10^{2}+4 \times 10^{3}\\ &\ \ \ \ \ +5 \times 10^{4}+6 \times 10^{5}+7 \times 10^{6} )\\ &=1+9(7654320)\\ &= 68888889 \end{align}$$

است اما تعداد صفرهای از $100000000 $ تا $2222222222 $ (با همون روش بالا و اینکه اولین عدد سمت چپ فقط $2 $ حالت دارد(بجای $ 9 $ حالت) بدست می آید) برابر $ 106419752 $ است لذا درکل

$ 175308641 $

صفر داریم

Answer 2

اعداد را برحسب دو رقمی ، سه رقمی و .... و هشت رقمی و اعداد $ 9 $ رقمی از $ 100000000 $ تا $222222222 $ دسته بندی میکنیم. برای اعداد $ 2 $ رقمی جایگشتی دو تایی در نظر بگیرید، رقم اول میتواند $ 9 $ حالت اختیار کند ولی رقم دوم باید $0 $ باشد لذا $9 $ حالت داریم.

برای اعداد $ 3 $ رقمی جایگشتی سه تایی در نظر میگیریم:

1. جایگشت اول $9 $ حالت دارد و دو جایگشت دیگر حتما $0 $ باشند.

2. یکی از دو جایگشت رقم $ 0 $ باشد پس جایگشت دیگر نیز $9 $ حالت دارد

لذا داریم: $9 + 9 \times 9 \times {3\choose 2} $.

برای اعداد $4 $ رقمی نیز جایگشتی $ 4 $ تایی در نظر میگیریم:

1. رقم اول $ 9$ حالت دارد و بقیه جایشگتها $ 0 $ باشد.
2. دو تا از سه جایگشت $ 0 $ باشند.

3. یکی از سه جایگشت $0 $ باشد.

   داریم $ 9 + 9^{2} \times {3\choose 2} + 9^{3} \times {3\choose 1} $

به همین منوال تا اعداد $ 8 $ رقمی پیش می رویم.

اما برای اعداد $9 $ رقمی محدودیت داریم. دقیقا به روش فوق پیش می رویم با این تفاوت که بجای $9$ ، $2$ قرار می دهیم در نهایت با محاسبه، تعداد $ 0 $ برابر است با $51585049 $ .

Comments

روش درستیه اما تعداد صفرهارو نمیشماره بلکه تعداد اعدادی که صفردارند رو می شماره مثلا همون اعداد سه رقمی که حساب کردیم اون 9 حالت(دو رقم حتما صفر دارند) باید 18 بنویسید(9 عدد که دو رقمشون صفره لذا 18 صفر دارند)

---

بله حق با شماست. به این نکته توجه نکردم. راه حلتون هم جالبه. ولی من این جمله "تعداد صفرهای بکار رفته در تمام حالات با تعداد 1 ها با تعداد 2 ها و.... برابر است" رو نفهمیدم میشه بیشتر توضیح بدین؟؟

---

مثلا تمام اعداد 3 رقمی رو در نظر بگیرید رقم صدگان همه رو حذف کنید تو تمام اعداد باقیمانده به هر تعدادی 0 بکار رفته باشه به همون اندازه 1 داریم چون برای بدست آوردن تمام این اعداد ما جایگشت(متقارن) اعداد 0 تا9 رو حساب میکنیم که هیچ عددی بر دیگری برتری نداره و به یک اندازه استفاده می شوند.