اگر $f^2\in L^1$ آنگاه $f\in L^1$ ؟

Question

ثابت کنید که اگر $\mu (x) < \infty$ باشد آنگاه از $f^{2} \in L^{1}$نتیجه می شود $f \in L^{1}$.

آیا این عبارت بدون در نظر گرفتن فرض $\mu (X) < \infty$ درست است؟

Answer 1

وقتی$f^{2} \in L^{1}$یعنی $f^{2}$انتگرالپذیر است و این با $f \in L^{2}$معادل است.حال چون $\mu (x) < \infty$طبق قضایای شمول در $L^{p}$ها نتیجه میشود که$L^{2} \subseteq L^{1}$پس

$$f \in L^{2} \subseteq L^{1}.$$

Answer 2

تابع $f(x)= \frac{1}{x}$ را درنظر بگیرید. برای این تابع $f(x)^{2}$ در $L^{1}(1, \infty )$ است اما خود تابع در $L^{1}(1, \infty )$ نیست