اگر $f^2\in L^1$ آنگاه $f\in L^1$ ؟

Question

ثابت کنید که اگر $ \mu (x) < \infty $ باشد آنگاه از $ f^{2} \in L^{1} $نتیجه می شود $f \in L^{1} $.

آیا این عبارت بدون در نظر گرفتن فرض $ \mu (X) < \infty $ درست است؟

Answer 1

وقتی$ f^{2} \in L^{1} $یعنی $ f^{2} $انتگرالپذیر است و این با $f \in L^{2} $معادل است.حال چون $ \mu (x) < \infty $طبق قضایای شمول در $ L^{p} $ها نتیجه میشود که$ L^{2} \subseteq L^{1} $پس$$f \in L^{2} \subseteq L^{1}.$$

Answer 2

تابع $f(x)= \frac{1}{x} $ را درنظر بگیرید. برای این تابع $ f(x)^{2} $ در $L^{1}(1, \infty )$ است اما خود تابع در $L^{1}(1, \infty )$ نیست