حاصل حد $\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{1}{f(x)}$ زمانی که $ \lim_{x \rightarrow a} f(x)=0$

Question

با سلام

فرض کنید که $ \lim_{x \rightarrow a} f(x)=0$ به طوری که : $a\in \mathbb{R^*}$ در اینصورت حد $$\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{1}{f(x)}$$

چه زمانی برابر است با : $+\infty$ و چه زمانی برابر است با : $-\infty $

خیلی تشکر.

Comments

منظورتون از $a\in \{\mathbb{R}+\mathbb{R^*}\}
$ چیه؟

---

@fardina
یعنی $a$  میتونه یک عدد حقیقی باشه یا منفی بینهایت و مثبت بینهایت . اشتباه کردم اینطوری نوشتم الان ویرایش میکنم .

Answer 1

اگر در یک همسایگی نقطه $a$ داشته باشیم $f(x)>0$ در اینصورت $\frac 1{f(x)}\to +\infty $ و اگر در همشایگی این نقطه تابع منفی باشد حد داده شده به منفی بی نهایت می رود.

Comments

خیلی ممنون .
فقط اگر $a$  بینهایت باشه چی؟

---

@amirm20
از یه جایی به بعد تابع مثبت باشه.
البته اینایی که گفتم رو باید خودتون بتونید اثبات کنید چون فقط کافیه تعریف رو بنویسید. اگه خواستید اثبات رو بنویسید اگر جایی اشکالی داشتید من راهنمایی میکنم.

---

@fardina
فرض کنید یک تابع داریم که به صورت نوسان میرا به صفر میل میکنه . در اینجا چطوری میتونیم بیگم از  یجایی مثبت یا منفیه ؟

---

@fardina
واینکه الان این فرض کنید تابعی داریم به صورت :

 $$f(x)=\begin{cases}x\sin(1/x) & x\ne0\\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$$
حدش برابر صفر ولی یک تقسیم بر این تابع حدش موجود نیست .
در حالات کلی قضیه به چه صورت است ؟
خیلی متشکر

---

@amirm20
قضایایی که بیان کردم برای توابعی است که در یک همسایگی مثبت یا منفی باشند. و شما همچین چیزی رو در نظر نگرفته بودید.
برای توابعی که شما مثال زدید حد وجود نخواهد داشت( مثبت منفی بینهایت میشه)