اشکال شما اینجاست که تعریف عددها برایتان جای نافتایده است. ۳ یک نماد است! کسر یک نماد است! مانند اینکه نوشتهٔ «رنگِ آسمان آبی است» یک نوشته متشکل از ۴ نماد است. اگر بخواهید ثابت کنید این جمله درست بودهاست چه میکنید؟ اول میبینید آسمان چیست، بعد میبینید رنگِ یک چیزی یعنی چه، بعد میبینید آبی چه رنگی است و در آخر رنگِ آسمان و رنگ آبی را با هم مقایسه میکنید. اینجا هم از خودتان بپرسید ۳ و ۲ و ۱ چه هستند؟ ۱ یعنی یک واحد از یک چیزی. یک سیب، یک کیک. الآن برایتان یک واحد معنا دارد، یک واحد از همان چیز بردارید بگذارید کنارش، به تعداد این چیزهایی که جلویتان است نماد ۲ را نسبت میدهند. حالا من از شما میپرسم، اینکه ۲=۱+۱ به نظر شما اصلا نیازی به استفاده از هیچ یک از اصول بالا دارد یا اینکه خود تعریفِ نماد ۲ است؟ هر دو برابری دیگرتان نیز از همین روند هستند و تعریف نمادهای عددیتان است و هیچ احتیاجی به استفاده از اصول برای اثباتشان ندارید. بلکه بعد از اینکه نمادهایی که اعضای مجموعهٔ اعداد حقیقی هستند و نمادهایی که جمع و ضرب و تفریق و تقسیم و کوچکتری و بزرگتری را تعریف کردید تازه مجموعه و اعمالی دارید که حالا بحث میشود که اصول یادشده را دارند یا خیر؟ اگر بلی از آنها استفاده میکنید و جلو میروید.
یک زمان دیگر یک نماد برمیدارید مانند a. بعد میگویید گروه آبلی آزاد تولید شده بوسیلهٔ آن را برمیدارم میشود یک مجموعهای از نمادها به همراه یک عمل. اگر اعداد صحیح را تعریف نشده فرض کنید نوشتن برایتان سخت میشود. در حالت عادی حاصل عمل a با خودش را با 2a نمایش میدهید ولی الآن برای همه چیز باید علامت جدید بردارید و زندگی سخت میشود. اما اگر فرض کنیم شما هنوز در مرحلهٔ پیش از فهمیدن نمادهای عددی زبانتان نماندهاید میدانید دوتا از یک چیزی را خلاصه با یک ۲ گذاشتن کنارش نمایش میدهند. پس ۲a. حالا اگر a، خود عدد یک باشد به نشر شما دو تا یک چیزی غیر از دو است؟ پس اعضای گروه آبلی آزاد تولید شده بوسیلهٔ عدد ۱، میشود مجموعهٔ اعداد صحیح به همراه عمل جمع. به همین شکل بروید جلو میدان مرتب کامل آزاد تولید شده بوسیلهٔ ۱، مجموعهٔ اعداد حقیقی به همراه اصلهای یادشده میشود. واقعا اینکه بگوئید با کمک این اصول ۱+۲=۳ را ثابت کنید، پرسش بیمعنایی است. چون ۱+۲=۳ برمیگردد به معنای ۱ و ۲ و۳! ۳ ضربدر یکدوم میشود سه دوم نیز همینگونه. شما اگر عمل ضرب و معنای کسر را فهمیدهباشید اینکه $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ را نیز میفهمید و ثابت کردنش از تعریف ضرب و تقسیم استفاده میکند نه از اینکه یک اصولی برقرار باشند.
