ابتدا تمام ریشه ها را به صورت $x_i$ نمایش میدهیم و چون منفی هستند .$-x_i$
مثبت است و تعریف میکنیم :$y_i:=-x_i$
حال استفاده میکنیم از Vieta's formulas
:
$$y_1+y_2+y_3=\dfrac{a}{1}=a \in(0,3)\tag{1}$$
$$y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1=\dfrac{b}{1}=b\tag{2}$$
$$y_1\cdot y_2\cdot y_3=\dfrac{c}{1}=c\tag{3}$$
به دنبال آن هستیم که بتوانیم بین پارامترا ها رابطه برقرار کنیم .
- ابتدا استفاده میکنیم از :
$$y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1 \leq y_1^2+y_2^2+y_3^2 $$
- سپس استفاده میکنیم از AM-GM :
$$\dfrac{y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1}{3}\geq\sqrt[3]{y_1y_2\cdot y_2y_3\cdot y_3y_1}$$
با توجه به تساوی $(2),(3),(1)$ خواهیم داشت :
$$b\leq (a)^2-2(b) \Leftrightarrow 3b \leq a^2 \Leftrightarrow b <3 \Leftrightarrow b^3<27\tag{5}$$
$$\dfrac{b}{3}\geq \sqrt[3]{c^2} \Leftrightarrow c^2 \leq \dfrac{b^3}{27} \Rightarrow c\leq \sqrt{ \dfrac{b^3}{27} } \tag{6}$$
در نتیجه از $(5),(6)$ داریم :
$$0<b<3$$
$$ 0<c \leq \delta \in (0,1) $$
$$0<b+c\leq 3+ \delta \Rightarrow b+c\in(0,4)$$
