$\require{cancel}$
ابتدا یاد آوری قوانین توان :
$$a^n\cdot a^m = a^{n+m}\tag{1}$$
$$a^n\cdot b^n = (a\cdot b)^n\tag{2}$$
$$\dfrac{a^n}{ b^n} = (\dfrac{a}{b})^n\tag{3}$$
$$\dfrac{a^n}{ a^m} = a^{n-m}\tag{4}$$
$$(a^m)^n=(a^n)^m=(a)^{n\cdot m}\tag{5}$$
سوال :
$$A:=\dfrac{(5^{9}\cdot 5^{9}\cdot 5^{9})^{100}}{(3^{100}\cdot 3^{100}\cdot 3^{100}\cdot3^{100}\cdot3^{100} )^9}$$
صورت را با رابطه $(5) ,(1) $ ساده میکنیم :
$$(5^{9}\cdot 5^{9}\cdot 5^{9})^{100}=(5^{3\cdot 9})^{100}=\big((5^{3})^{9} \big)^{100}=\big(5^{3}\big)^{900}$$
مخرج با رابطه $ (2) $ ساده میکنیم :
$$(3^{100}\cdot 3^{100}\cdot 3^{100}\cdot3^{100}\cdot3^{100} )^9=\big((3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot3)^{100}\big)^{9}$$
حالا عبارت $(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot3)$ را با استفاده از رابطه $(1)$ به صورت
$3^{5}$ مینویسیم .
سپس مخرج را ساده تر میکنیم :
$$\big((3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot3)^{100}\big)^{9}=\big( (3^{5})^{100}\big)^{9}$$
با استفاده از رابطه $(5)$ عبارت را ساده تر میکنیم :
$$\big( (3^{5})^{100}\big)^{9}=\big( (3^{5})^{9}\big)^{100}=\big( 3^{5}\big)^{900}$$
در آخر با استفاده از رابطه $(3)$ صورت را بر مخرج تقسیم میکنیم :
$$A:=\dfrac{\big(5^{3}\big)^{900}}{\big( 3^{5}\big)^{900}}=(\dfrac{5^{3}}{3^{5}})^{900}$$
سوال
$$B:=\dfrac{105\cdot21\cdot5^7}{35\cdot3^4}$$
ابتدا همه اعداد را به اعداد اول تجزیه میکنیم :
$$105=5\cdot 3\cdot 7$$
$$21= 3\cdot 7$$
$$35=5\cdot 7$$
$$3^4=3^4$$
$$5^7=5^7$$
جایگذاری میکنیم :
$$B:=\dfrac{(5\cdot 3\cdot 7)\cdot(3\cdot 7)\cdot5^7}{(5\cdot 7)\cdot3^4}$$
حالا در صورت و مخرج عامل های تکراری را خط میزنیم :
$$B:=\dfrac{(\cancel{5}\cdot 3\cdot \cancel{7})\cdot(3\cdot 7)\cdot5^7}{(\cancel{5}\cdot \cancel{ 7})\cdot3^4}$$
باز نویسی میکنیم :
$$B:=\dfrac{( 3)\cdot(3\cdot 7)\cdot5^7}{3^4}$$
حالا با رابطه $(1) $ عبارت $3 \cdot 3 $ را به صورت $3^2$ مینویسیم . و عبارت $3^4$ به صورت $3^2\cdot 3^2$ مینویسیم . داریم :
$$B:=\dfrac{ 3^2 \cdot7 \cdot 5^7}{3^2 \cdot 3^2}$$
حالا در صورت ومخرج عامل های تکراری را خط میزنیم :
$$B:=\dfrac{ \cancel{3^2 }\cdot7 \cdot 5^7}{3^2 \cdot \cancel{3^2}}$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$B=\dfrac{7\cdot 5^7}{3^2}$$
