دو صفحه به معادله های $ax+by+cz=d$ و $a'x+b'y+c'z=d'$ چه وضعیت هایی نسبت به هم و تحت چه شرایطی می توانند داشته باشند؟

Question

$$ax+by+cz=d$$ $$a'x+b'y+c'z=d'$$

دو معادلهٔ خطیِ بالا، دو صفحه را نمايش مي‌دهند. حال سوال اين است كه اين دو صفحه چه حالت‌هایی مي‌توانند داشته باشند و اينكه معادلات آنها بايد چه شرايطي داشته باشد كه این حالت‌ها به وجود آيند؟ خيلي ممنون.

Answer 1

دو صفحه در فضا یا موازی اند یا متقاطع.

دو صفحه $ax+by+cz=d$و $a'x+b'y+c'z=d'$ موازی اند هرگاه بردارهای نرمال آنها $n=(a,b,c)$و $n'=(a',b',c')$ با هم موازی باشند. یعنی عدد $k\neq 0$ موجود باشد به طوریکه $n=kn'$ و یا به عبارت دیگر $\frac a{a'}=\frac b{b'}=\frac c{c'}=k$ .( و یا ضرب خارجی بردارهای نرمال صفر شود $n\times n'=0$ )

اگر دو صفحه موازی نقطه ی اشتراک هم داشته باشند در اینصورت آن دو صفحه بر هم منطبق اند. یعنی داریم $\frac a{a'}=\frac b{b'}=\frac c{c'}=\frac d{d'} $ .

اگر دو صفحه با هم موازی نباشند آن دو صفحه متقاطع اند. در اینصورت فصل مشترک آنها یک خط است.

دو صفحه بر هم عمودند اگر و تنها اگر بردارهای نرمال آنها بر هم عمود باشند یعنی ضرب داخلی بردارهای نرمال صفر شود $n.n'=0$ . یعنی $aa'+bb'+cc'=0$ .

Comments

داداش فکر کنم این فرمولا مال وقتیه که a یا b صفر نباشن
اگه صفر باشنم یه توضیح میدی؟