به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
49 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط af
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

فرض کنید $A$ یک حلقهٔ جابجایی و یک‌دار باشد و حلقهٔ چندجمله‌ای‌های $R=A[x_1,\cdots,x_n]$ را در نظر بگیرید. قرار دهید $a=(x_1,\cdots,x_n)R$. بفرض $J$ یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای از $R$ باشد که $J \subseteq a$. فرض کنید فرض کنید $z_1,\cdots,z_m$ گوشه‌های $J$ باشند. ثابت کنید؛
$$J:a=(z_1,\cdots,z_m)R+ J$$

مرجع: کتاب Monomial Ideals and their decompositions نوشتهٔ Frank Moore و دیگران
دارای دیدگاه توسط af
سلام بله حق باشماست . a اینجا یک ایده ال مونومیال میباشد.
دارای دیدگاه توسط af
الان دیگه ویرایشش کردم
دارای دیدگاه توسط af
بله الان متوجه شدم ببخشید چون من در تایپش هم مشکل داشتم. ممنون برای پاسخ تون.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط af
 
بهترین پاسخ

پیش از شروع به دادن پاسخ، برای روشن شدن محیط و ماهیت پرسش کمی توضیحات مقدماتی پیرامون نمادها می‌دهم که بهتر با پاسخ زیر ارتباط برقرار کنید.

$A$ را یک حلقهٔ جابجایی یک‌دار در نظر بگیرید و $x_1,\cdots,x_n$ را یک سری متغیر بردارید. حلقهٔ چندجمله‌ای‌های $n$-متغیره با ضرایب از حلقهٔ $A$ را بسازید. این حلقه نیز یک حلقهٔ جابجایی و یک‌دار می‌شود.

برخی ایده‌آل تولیدشده بوسیلهٔ یک زیرمجموعهٔ $B\subseteq R$ را یا $(B)R$ نمایش می‌دهند ولی بیشتر ریاضی‌دانان به ویژه جبرکاران از نماد $\langle B\rangle$ استفاده می‌کنند. ما نیز در اینجا از این نماد رایج‌تر استفاده خواهیم کرد.

برای دو ایده‌آل دلخواه از این حلقه مانند $I$ و $J$، خارج قسمت $I:_RJ$ را مجموعهٔ تمامی عنصرهایی از حلقهٔ $R$ که حاصلضربشان در تمام عناصر $J$ درون $I$ قرار بگیرد تعریف می‌کنیم، بوسیلهٔ نمادها به شکل زیر نوشته می‌شود؛ $$\begin{array}{lll}I:_RJ & = & \{r\in R\,|\,rJ\subseteq I\}\\ & = & \{r\in R\,|\,\forall j\in J\,:\,rj\in I\}\end{array}$$ به سادگی می‌توانید ببینید که این مجموعه یک ایده‌آل از $R$ می‌شود.

یک چندجمله‌ای از $R$ را تک‌جمله‌ای گوئیم هر گاه تنها دارای یک جمله باشد مانند $x_3$ یا $x_1x_3$ ولی $x_1^2+x_2x_3$ دو جمله دارد پس یک تک‌جمله‌ای نیست. یک ایده‌آل از $R$ را یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای می‌نامیم هرگاه دارای یک مولد متشکل از تنها تک‌جمله‌ای‌ها باشد. مانند ایده‌آل زیر؛ $$\langle x_1,\cdots,x_n\rangle$$ ایده‌آل بالا شامل تمام چندجمله‌ای‌هایی که جملهٔ ثابتشان صفر است می‌شود، پس $x_1x_2-3x_2^2$ عضو آن است درحالیکه $2x_1+3$ عضو آن نیست.

نمونهٔ دیگر $\langle x_1^3,x_1x_2^2,x_2^3\rangle\subseteq A[x_1,x_2]$. خوبی و مهمترین ویژگی ایده‌آل‌های تک‌جمله‌ای که آنها را نامی کرده‌است و ریاضی‌دان‌های بسیاری را جذب خویش کرده است و در موردهای زیادی کاربرد یافته است این است که تشخیص اینکه اعضای آن به چه شکلی هستند و اینکه یک چندجمله‌ای چه زمانی عضو آنها می‌افتد به آسانی نوشیدن آب است و در واقع یکی از گام‌های پیش از رسیدن به ابزار نیرومند پایهٔ گروبنر می‌باشد.

اما این کار به چه صورت انجام می‌گیرد؟ کافیست یک نمودار رسم کنید و توان‌های این تک‌جمله‌ای‌های ظاهر شده در مولد را به شکل نقاطی مختصاتی در این نمودار رسم کنید. سپس تمام نقاط با مختصات صحیح در سمت راست و بالای این نقاط را در نظر بگیرید. یک چندجمله‌ای عضو این ایده‌آل است اگر و تنها اگر توان تمام جملاتش در این ناحیه قرار بگیرند. نمودار ایده‌آل نمونهٔ پایانی‌مان در شکل زیر آمده‌است. یک سری تک‌جمله‌ای‌ها مکان نسبتاً تأسف‌آوری دارند، آنها اگر یک گام بالاتر و یا یک گام راست‌تر بودند عضو این ناحیه می‌شدند و برخی شرایطشان نیز نزدیک‌تر است یعنی از هر دو جهت یک گام بدشانسی آورده‌اند (در شکل زیر آنها را با نقاط سبزرنگ نمایش داده‌ایم) آنها را نقاط گوشه نسبت به ایده‌آل تک‌جمله‌ای‌مان می‌نامیم.

enter image description here

تعریف: یک تک جمله‌ای را نسبت به یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای گوشه می‌نامیم هر گاه عضوی از آن ایده‌آل نباشد و ضربش در هر یک از متغیرها درون آن ایده‌آل قرار بگیرد.

نکتهٔ یکم: فرض کنید $I$ و $J$ دو ایده‌آل از حلقهٔ $R$ و $r$ عضوی از $R$ باشد آنگاه اگر قرار باشد $rJ\subseteq I$ شود و $J$ بوسیلهٔ یک مجموعه تولید شود تنها کافیست بدانیم که حاصلضرب $r$ در اعضای آن مجموعه داخل $I$ قرار می‌گیرد.

پس از این نکته نتیجه می‌شود که یک تک‌جمله‌ای گوشه برای یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای $I$ است هر گاه عضو $I:_R\langle x_1,\cdots,x_n\rangle-I$ باشد.

نکتهٔ دوم: همواره داریم $ I:_RJ\supseteq I$.

در نتیجه ثابت کرده‌ایم که در حالتیکه $I$ ایده‌آل تک‌جمله‌ای است، $I:_R\langle x_1,\cdots,x_n\rangle$ هم $I$ را دارد و هم گوشه‌هایش را.

نکتهٔ سوم: اگر ایده‌آلی یک مجموعه را شامل شود، ایده‌آل تولیدشده بوسیلهٔ آنها را نیز دربرمی‌گیرد.

پس تا اینجا نشان داده‌ایم که اگر گوشه‌های ایده‌آل تک‌جمله‌ای $I$ را با $z_1,\cdots,z_m$ نمایش داده باشیم، داریم؛ $$I:_R\langle x_1,\cdots,x_n\rangle\supseteq\langle z_1,\cdots,z_m\rangle+I$$ (توجه داشته باشید که از قضیهٔ پایه‌های هیلبرت برای حلقه‌های چندجمله‌ای که ایده‌آل‌‌های این حلقه‌ها متناهی مولد هستند در حال استفاده هستیم که تعداد مولدها و گوشه‌ها را متناهی می‌گیریم و روی اینکه آیا این حق را داریم یا نه مانور نمی‌دهیم، بعلاوه تعداد گوشه‌ها را با $m$ نشان داده‌ایم زیرا الزامی ندارد با تعداد متغیرها برابر باشد).

تنها مانده است که سمت مخالف را ثابت کنیم. یک عضو داخل این خارج قسمت بردارید. این عضو جمع یک سری جمله است. این جمله‌ها را تک تک در نظر می‌گیریم. یکی از این جمله‌ها را بردارید. اگر این جمله داخل $I$ باشد که چیزی برای اثبات نمی‌ماند چون $I\subseteq\langle z_1,\cdots,z_m\rangle+I$. پس بیاییم فرض کنیم در $I$ نباشد پس یک شرط گوشه بودن فراهم است. از طرف دیگر بنا به تعریق خارج قسمت و نکتهٔ یکم، عضو این خارج قسمت بودن هم‌ارز با این است که ضربش در تمامی عناصر مولد ایده‌آل تولید شده بوسیلهٔ متغیرها در $I$ بیافتد اما یک مولد برای ایده‌آل تولید شده بوسیلهٔ متغیرها خود مجموعهٔ متغیرها است پس یعنی حاصلضرب این جمله در تمامی متغیرها درون $I$ می‌افتد و این شرط دوم گوشه بودن را می‌دهد، در نتیجه این جمله یکی از $z_i$ها است پس عضو ایده‌آل تولید شده بوسیلهٔ آنها و در نتیجه عضو $\langle z_1,\cdots,z_m\rangle+I$ می‌افتد. اما می‌دانیم که ایده‌آل نسبت به جمع بسته است. چون تمامی جملات آن چندجمله‌ای در ایده‌آل $\langle z_1,\cdots,z_m\rangle+I$ افتاد پس جمع آنها و در نتیجه یعنی خود آن چندجمله‌ای در این ایده‌آل است. پس سمت دیگر زیرمجموعه‌بودن نیز ثابت شد.


نذکر: فردی که این قضیه را بیان کرده هدفش تنها بررسی نقاط بدشانس نمودار نبوده‌است بلکه همانگونه که می‌بینید، گوشه‌ها متناظر به نقاطی هستند که عضو خارج قسمت خاصی بودن نیاز به افزودن آنها داشته است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...