اگر داشته باشیم:
$$ f(x) = x^2 - ax + b $$
بر طبق قضیه بولزانو اگر $f(0)f(1) \leq 0$ آنگاه معادله $f(x) = 0$ ریشه ای در بازه $[0, 1]$ دارد.
$$ f(0) = b $$
$$ f(1) = b-a+1 $$
$$ (b-a+1)(b) \leq 0 $$
برای برقراری نامساوی بالا باید یکی مثبت و دیگری منفی باشد. با توجه به محدوده انتخاب a , b اگر نامساوی زیر برقرار باشد معادله پاسخی در بازه موردنظر دارد.
$$ b \leq a-1 $$
تعداد زوج مرتب هایی که در نامساوی بالا صدق می کنند برابر است با $\sum^{10}_{i=2}(i-1) = 45$
البته اگر ریشه مورد بحث ما مضاعف باشد با قضیه بولزانو نمی توانیم به وجود آن پی ببریم.پس باید زوج مرتب هایی که به ازای آن ها $a^2 - 4b = 0$ برقرار است را بررسی کنیم.
$$ \lbrace (2, 1), (4, 4), (6, 9) \rbrace $$
تنها به ازای $(2, 1)$ معادله ریشه ای در بازه موردبحث دارد و البته چون در $b \leq a-1$ صدق می کند در مراحل قبلی آن را حساب کرده ایم. پس تعداد زوج مرتب های موردبحث ما 45 است.
