به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
340 بازدید
در دانشگاه توسط asady

ثابت کنید : $ \sum_{i=1}^n i^k = \sum_{i=1}^n i! S(k,i) \binom{n+1}{i+1} $

و در اینجا ؛ $S(k,i)$ تعداد افراز های مجموعه k عضوی به i تا است $S(k,i)= \frac{1}{i!} \sum_{j=0}^i (-1)^j \binom{j}{i} (i-j)^k $

توسط AmirHosein
«مرجع: حخ» یعنی چه؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Am.A
ویرایش شده توسط Am.A

اولاّ فرمولی که گفتین اثبات بشه و فرمول تعداد افراز ها(معروف به اعداد استرلینگ نوع دوم) اشتباه است. درستش: $$ \sum_{i=1}^n i^k=\sum_{j=1}^k j!S(k,j) \binom{n+1}{j+1} $$ $$ S(k,i)=\frac{1}{i!} \sum_{j=0}^i {(-1)^{i-j} \binom{i}{j} }j^k $$ برای اثبات فرمول مجموع توان ها از 2 رابطه زیر استفاده میشه که اوّل اون ها رو میگم.

رابطه در اعداد استرلینگ: $$ x^k= \sum_{i=1}^k S(k,i)(x)_i $$ که $ (x)_m $ ترتیب های m تایی x شیء است و از فرمول $ (x)_k= \frac{x!}{(x-k)!} $ بدست می آید و به ازای x=0 حاصل 1 در نظر گرفته می شود.

همچنین رابطه زیر برای مجموع $ (x)_m $

$$ \sum_{x=1}^n (x)_m= \frac{(n+1)_{m+1}}{m+1} $$

اما برای اثبات: $$ \sum_{i=1}^n i^k= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k S(k,j)(i)_j = \sum_{j=1}^k S(k,j)\sum_{i=1}^n(i)_j =\sum_{j=1}^k S(k,j) \frac{(n+1)_{j+1}}{j+1} $$ $$ =\sum_{j=1}^k S(k,j) \frac{(n+1)!}{(j+1)(n-j)!}=\sum_{j=1}^k S(k,j)j! \frac{(n+1)!}{(j+1)j!(n-j)!} $$ $$= \sum_{j=1}^k S(k,j) j! \binom{n+1}{j+1} $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...