وارون تابع

Question

تابع $f: (1,-1) \longrightarrow R$با ضابطه $\frac{x}{1- x^{2} }$مفروض است . میخواهیم تابع وارون آن را به طوریکه بر تمام $R$ تعریف شود به دست آوریم. تابع وارون آن عبارت است از:$\frac{-1 \pm \sqrt[2]{1+4 x^{2} } }{2x}$ میتوان نشان داد که $\frac{-1 - \sqrt[2]{1+4 x^{2} } }{2x}$ قابل قبول نیست و ضابطه دیگر قبول است. اما چطور میشه نشون داد که ضابطه دیگر قابل قبول است؟ البته با عدد گذاری میشه مثلا اگه عدد$\frac{1}{2}$را جایگذازی کنیم ضابطه $\frac{-1 - \sqrt[2]{1+4 x^{2} } }{2x}$ بین بازه $(-1,1)$قرار نمیگیره و میتوان مورد درست را پیدا کرد. اما با اثبات چطور میشه نشون داد که ضابطه $\frac{-1 + \sqrt[2]{1+4 x^{2} } }{2x}$جواب است؟

Answer 1

تابع زیر را در نظر میگیریم :

$$f:(-1,+1)\to \mathbb{R}\\ f(x):=\dfrac{x}{1-x^2}\tag{1}$$

همان طور که تعریف شده دامنه برابر است با $(-1,+1)$ یعنی محدوده $x$ برابر است :

$$-1 < x < +1$$

میخواهیم تابع وارون را بدست بیاوریم :

$$y=\dfrac{x}{1-x^2}\\y(1-x^2)=x\\-yx^2-x+y=0\\x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4y^2}}{2y}\\f^{-1}(x)=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4x^2}}{2x}$$

تعریف $(1)$ بیاد بیاوردید . دامنه $f$ برابر بود با $(-1,+1)$ . و این یعنی برد تابع $f^{-1}$ در محدوده ی $(-1,+1)$ قرار دارد یعنی :

$$-1 < f^{-1}(x)=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4x^2}}{2x} < +1$$

اما $f^{-1}(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x^2}}{2x}$ در محدوده ی $(-1,+1)$ قرار ندارد در نتیجه جواب خواهد بود :

$$\bbox[5px, border:1px solid teal]{-1 < f^{-1}(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x^2}}{2x}< +1}$$

Answer 2

اگر

$$-1< \frac{-1- \sqrt{1+4x^2}}{2x}< 1$$

آنگاه

$$\frac{2+4x^2+2\sqrt{1+4x^2}}{4x^2}< 1$$

درنتیجه

$$2+2\sqrt{1+4x^2}< 0$$

که جواب ندارد

لذا نمی تواند ضابطه تابع معکوس آن باشد .