از یک جعبه که دارای ۱۰ توپ شمارهدار است، ۴ توپ بیرون میکشیم. احتمال اینکه توپ انتخاب شدهٔ دوم، توپ شمارهٔ ۸ باشد چقدر است؟

Question

دریک ظرف ۱۰ توپ وجود دارد که با اعداد ۱ تا ۱۰ شماره‌گذاری شده اند. ۴ توپ به تصادف بیرون می‌کشیم. احتمال اینکه دومین توپ از نظر بزرگی عدد، ۸ باشد چقدر است؟

Comments

«از نظر بزرگی عدد ۸ باشد» دقیقا یعنی جه؟ منظورتان  همان «۸ باشد» است؟

---

سوالش همین بود کتاب ریاضی انتشارات علامه حلی

---

@alineysi می‌توانید از صورت پرسش عکس بگیرید و قرار دهید؟ جملهٔ آخر آن از نظر دستوری و معنایی نادرست است.

---

ببخشید بعد از کلمه عدد ، وجود دارد.
دومین توپ از نظر بزرگی عدد،۸ باشد چقدر است؟

---

لطفا روی ویرایش کلیک کنید و سوالتون رو ویرایش کنید.
در صورت امکان عنوان مناسب تری هم بنویسید.

Answer 1

بدون کاستن از کلیت می‌توانید توپ سوم و چهارم را فراموش کنید، چون اینکه چه توپی انتخاب شوند تأثیری بر حاصل توپ دوم نخواهد داشت. ولی توپ یکُم را نمی‌توانید بی‌تأثیر بدانید، چون اینکه چه چیزی انتخاب شود روی اینکه توپ دوم می‌تواند ۸ بشود یا خیر اثر دارد. توپ یکُم ۱۰ حالت دارد، توپ دوم ۹ حالت دارد یعنی از بین ۱۰ توپ منهای توپی که در دفعهٔ یکُم گُزیده‌شده‌است می‌تواند گزینش شود. پس کل حالت‌ها برابر با $10\times 9$ است. توجه کنید که نباید از فرمول انتخاب ۲ از ۱۰ استفاده کنید چون ترتیب انتخاب‌ها در این پرسش مهم است. یعنی بین اینکه توپ یکم ۱ و توپ دوم ۲ با توپ یکم ۲ و توپ دوم ۱ تفاوت قائل شده‌ایم. به دو روش تعداد حالت‌های مطلوب را می‌شماریم.

راه کوتاهتر؛ نتیجه‌های مطلوب به شکل دوتایی‌های مرتب $(a,8)$ هستند که $a$ یک عدد درست (صحیح) بین ۱ تا ۱۰ و مخالف ۸ می‌تواند باشد، تعداد آنها برابر با ۹ است.

راه دوم؛ دو حالت در نظر می‌گیریم، توپ یکُم یا ۸ است یا نا ۸ است. به ۱ حالت می‌تواند توپ نخست شمارهٔ ۸ داشته‌باشد، در این حالت توپ دوم هرگز ۸ نخواهد شد. به ۹ حالت توپ نخست دارای شماره‌ای مخالف ۸ خواهد بود. برای هر یک از این ۹ حالت، دقیقا یک حالت برای اینکه توپ دوم ۸ شود وجود دارد. پس در کل $$(1\times 0)+(9\times 1)=9$$

در نتیجه احتمال خواسته‌شده برابر است با $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}=0.1$.

اگر توپ سوم و چهارم را از محاسبه کنار نمی‌گذاشتیم تعداد کل حالت‌ها برابر می‌بود با $10\times 9\times 8\times 7$ و از راه کوتاهتر تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با تعداد چهارتایی‌های مرتب $(a,8,c,d)$ که $a$، $c$ و $d$ عددهای ۱ تا ۱۰ به غیر از ۸ هستند که تکرار نداشته باشند. تعداد این چهارتایی‌ها برابر است با $9\times 8\times 7$. همانطور که می‌بینید کنار نگذاشتن توپ سوم و چهارم از محاسبات فقط در صورت و مخرج احتمال یک قسمت ثابت ضرب کرده‌است $8\times 7$ که تغییری در پاسخ ایجاد نمی‌کند.