آیا قورباغه روی عدد$1393$ فرود می آید؟ چرا؟

Question

یک قورباغه در عدد صفر روی محور اعداد قرار گرفته است. در مرحله $n$ ام قورباغه یک پرش به طول $n$( در جهت مثبت) و سپس $n-1$ پرش به طول $1$ ( در جهت مثبت) انجام می دهد. آیا قورباغه روی عدد $1393$ فرود می آید؟ چرا؟

Answer 1

چون هر دو پرش در جهت مثبت است درواقع در هر مرحله قورباغه پرشی به طول $2n-1$ انجام میدهد. مثلا در مرحله ی اول $1$ واحد میپرد لذا به نقطه $1$ میرسد و در پرش دوم $3$ واحد میپرد و به نقطه ی $1+3$ میرسد لذا در مرحله ی$n$ به نقطه ی

$$1+3+5+....+2n-1= n^{2}$$ میرسد. یعنی قورباغه فقط روی نقاط مربع کامل میرود و چون$1393$ مربع کامل نیست پس روی این نقطه نمیرود.