به روشهای گوناگون میتوانید شروع به شمارش کنید یکی مانند آنچه @Taha1381 در دیدگاهی در زیر پرسش قرار دادهاند.
فرض کنید $X$ دارای $n$ عضو است. میخواهیم دو مجموعهٔ $A,B\subseteq X$ به گونهای انتخاب کنیم که $|A\cap B|=1$. پس نخستین کاری که میکنیم عضو مشترک را انتخاب میکنیم و سپس فرض کنید $A$ دارای $i$ عضو به غیر از آن یک عضو است که $i$ میتواند از ۰ تا $n-1$ انتخاب شود. اکنون فرض کنید $B$ دارای $j$ عضو است که $j$ از ۰ تا $n-1-i$ میتواند انتخاب شود. پس تعداد کل حالتهای ممکن برابر است با
$$\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i-1}\binom{n}{1}\binom{n-1}{i}\binom{n-i-1}{j}=\binom{n}{1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\sum_{j=0}^{n-i-1}\binom{n-i-1}{j}=n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}2^{n-i-1}=n3^{n-1}$$
به یاد آورید که بسط دوجملهای خیام-نیوتن برابر بود با
$$\sum_{i=0}^m\binom{i}{m}x^iy^{m-i}=(x+y)^m$$
اکنون اگر به جای $m$ بگذارید $n-1$ و به جای $x$ و $y$ بگذارید $1$ و $2$ آنگاه به محاسبهٔ مساوی آخر رابطهٔ بالا میرسید. برای مساوی پیش از آن نیز هر دوی $x$ و $y$ را $1$ بگذارید و $m$ را $n-i-1$ بگذارید.
