اسپلاین مکعبی

Question

فرض کنید $\bigtriangleup = \big\{a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{3}=b \big\}$ نشان دهید اگر

$\forall x \in [ x_{0} , x_{1} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0$

و $\forall x \in [ x_{2} , x_{3} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0$

آنگاه $\forall x \in [ x_{1} , x_{2} ] : S_{ \bigtriangleup } (x) =0$ .

تلاش برای حل: تابع $f$ را بصورت$f=ax^3+bx^2+cx+d$ در نظر بگیریم و ضرایب را با توجه به شرایط اسپلاین بیابیم.

Answer 1

اگر تابع اولیه را برابر $f$ بگیریم باید $S$ را چنان بیابیم که در شرایط زیر صدق کند:

1) $S( x_{i} )=f( x_{i} ) \ \ \ \ \ $

2) $S_{i+1}( x_{i+1} )=S_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

3)$S^{'} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{'}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

4)$S^{''} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{''}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $

اگردرونیاب را با $S$ نمایش دهیم در هر زیر بازه ی $[ x_{i} , x_{i+1} ]$ درونیاب برابر است با $S_{i}( x)= a_{i} + b_{i} (x- x_{i} ) + c_{i} (x- x_{i} ) ^{2} +d_{i} (x- x_{i} ) ^{3}$ اولا یک چند جمله ای است و چون طبق فرض برای بازه های $[ x_{0} , x_{1} ]$و$[ x_{2} , x_{3} ]$ متحد با صفر است لذا باید ضرایب صفر باشند لذا داریم:

$$a_{0}=b_{0} =c_{0} =d_{0}=0 \tag{*}\label{*}$$

$$a_{2}=b_{2} =c_{2} =d_{2}=0 \tag{**}\label{**}$$ حال نشان میدهیم که $$a_{1}=b_{1} =c_{1} =d_{1}=0$$ اولا با جایگزاری داریم: $S_{i}( x_{i} )= a_{i}$ و چون ضرایب صفر هستند لذا $S_{0}( x_{1} )=0$ وطبق رابطه ی $(2)$ داریم که $a_{1}= S_{1}( x_{1} )=S_{0}( x_{1} )=0$ .

به کمک مشتق گیری داریم که $= b_{i}+2c_{i}(x-x_{i})+3d_{i}(x-x_{i})^{2}$ $S^{'} _{i} (x)$

که با جایگذاری $x_{i}$ داریم که $= b_{i}$ $S^{'} _{i} (x)$

حال با استفاده از رابطه ی $(3)$ بدست می آید که $b_{i+1}= b_{i} +2c_{i}(x_{i+1}-x_{i})+3d_{i}(x_{i+1}-x_{i})^{2}$ لذا با جایگذاری $i=0$ و توجه به رابطه ی$\eqref{*}$ بدست می آید که $b_{1} =0$

با اجرای روند بالا و دو بار مشتق گیری برای $c_{i}$ ها رابطه ی $c_{i+1}= c_{i} +3 d_{i}(x_{i+1}-x_{i})$ که توجه به رابطه ی$\eqref{*}$ بدست می آید که $c_{1} =0$

و رابطه ی زیر همواره برای $d_{i}$ ها برقرار است که به کمک آن حکم آخر هم ثابت می شود.

$$d_{i}= \frac{c_{i+1}- c_{i}}{3 (x_{i+1}-x_{i})}$$